Número Pi


Número

Letra griega pi. S�mbolo adoptado inicialmente en 1706 por William Jones y popularizado por Euler.

Letra griega pi. Símbolo adoptado inicialmente en 1706 por William Jones y popularizado por Euler.

π (pi) es un número irracional, cociente entre la longitud de la circunferencia (perímetro) y la longitud de su diámetro. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:

\pi \approx 3{,}1415926535897932384...La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griegoπεριφέρεια” (periferia) y “περίμετρον” (perímetro) de una circunferencia.[1] Esta notación fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones[2] y popularizada por el matemático Leonhard Euler en su obra «Introducción al cálculo infinitesimal» de 1748. Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (no se debe confundir con el número de Arquímedes).

El valor de π ha sido conocido con distinta precisión a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Tal vez por ello sea la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados. La constancia de la razón de la circunferencia al diámetro no es válida en geometrías no euclídeas.

Visualización de la definición de π. Es el per�metro de una circunferencia de diámetro 1.

Visualización de la definición de π. Es el perímetro de una circunferencia de diámetro 1.
Lista de númerosNúmeros Irracionales
ζ(3)√2√3√5φαeπδ
Binario 11,00100100001111110110…
Decimal 3,14159265358979323846…
Hexadecimal 3,243F6A8885A308D31319…
Fracción continua 3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{292 + \ddots}}}}
Nótese que la fracción continua no es periódica.

Historia del número π

La búsqueda del mayor número de decimales del número π ha supuesto un esfuerzo constante de numerosos científicos a lo largo de la historia. Algunas aproximaciones históricas de π anteriores a la época computacional pueden verse en la siguiente tabla:

Año Matemático o documento Cultura Aproximación Error
(en partes por millón)
~1650 a. C. Papiro de Ahmes Egipcia 28/34 ~ 3,1605 6016 ppm
~1600 a. C. Tablilla de Susa Babilónica 3 1/8 = 3,125 5282 ppm
~950 a. C. La Biblia (Reyes I, 7,23) Judía 3 45070 ppm
~500 a. C. Bandhayana India 3,09 16422 ppm
~250 a. C. Arquímedes de Siracusa Griega entre 3 10/71 y 3 1/7
empleó 211875/67441 ~ 3,14163
<402 ppm
13,45 ppm
~200 Claudio Ptolomeo Greco-egipcia 377/120 = 3,141666… 23,56 ppm
263 Liu Hui China 3,14159 0,84 ppm
263 Wang Fan China 157/50 = 3,14 507 ppm
~300 Chang Hong China 101/2 ~ 3,1623 6584 ppm
~500 Zu Chongzhi China entre 3,1415926 y 3,1415929
empleó 355/113 ~ 3,1415929
<0,078 ppm
0,085 ppm
~500 Aryabhata India 3,1416 2,34 ppm
~600 Brahmagupta India 101/2 ~ 3,1623 6584 ppm
~800 al-Jwarizmi Persa 3,1416 2,34 ppm
1220 Fibonacci Italiana 3,141818 72,73 ppm
1400 Madhava India 3,14159265359 0,085 ppm
1424 Al-Kashi Persa 2π = 6,2831853071795865 0,1 ppm

Una de las referencias documentadas más antiguas al número pi se puede encontrar en un versículo poco conocido de la Biblia:

«Hizo una fuente de metal fundido que medía 10 codos de diámetro: era completamente redonda, y su altura era de 5 codos y una línea de 30 codos lo rodeaba».

(I Reyes 7, 23)

Se puede ver cómo una idea similar se puede encontrar en II Crónicas 4, 2. En él aparece en una lista de requerimientos para la construcción del Gran Templo de Salomón, construido sobre el 950 a. C. y su interés aquí radica en que da un valor de π = 3,0.

Época egipcia

El uso del número π en las culturas antiguas se remonta al que hacía el escriba egipcio Ahmes en el año 1800 a. C., descrito en el papiro de Rhind,[3] donde se emplea un valor de π afirmando que el área de un círculo es similar a la de un cuadrado cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9, es decir igual a los 8/9 del diámetro. Es decir que:

S = \pi r^2 \simeq \left( \frac{8}{9} \cdot d \right)^2 = \frac{64}{81} d^2 = \frac{64}{81} \left(4 r^2\right)

\pi \simeq \frac{256}{81} = 3{,}16049 \ldots

Entre los ocho documentos matemáticos de la cultura egipcia hallados hasta hoy, en sólo dos se habla de círculos. Uno es el papiro de Rhind y el otro es el papiro de Moscú. Sólo en el primero se habla del cálculo del número π. El investigador Otto Neugebauer, en un anexo de su libro «The Exact Sciences in Antiquity»,[4] describe un método supuestamente inspirado por los problemas del papiro de Ahmes para averiguar el valor aproximado de π mediante aproximación a un cuadrado de lado 8/9 del diámetro.

Algunos matemáticos mesopotámicos empleaban en el cálculo de segmentos valores de π iguales a 3, alcanzando en algunos casos valores más refinados de 3 y 1/8.

Época griega

Método de Arqu�medes para encontrar dos cotas que se aproximen al número π.

Método de Arquímedes para encontrar dos cotas que se aproximen al número π.

El matemático griego Arquímedes (siglo III a. C.) fue capaz de determinar el número π entre el intervalo comprendido por 3 10/71, como valor mínimo y 3 1/7, como valor máximo. Con esta aproximación de Arquímedes se obtiene un valor con un error que oscila entre 0,024% y 0,040% sobre el valor real. El método empleado por Arquímedes[5] era muy simple y consistía en circunscribir e inscribir polígonos regulares de n-lados en circunferencias y calcular el perímetro de dichos polígonos. Arquímedes empezó con hexágonos circunscritos e inscritos, y fue doblando el número de lados hasta llegar a polígonos de 96 lados.

En el siglo II, Claudio Ptolomeo proporciona un valor fraccionario por aproximaciones:

\pi \simeq \frac{377}{120} = 3{,}1416 \ldots

La matemática persa y china

El cálculo de pi fue una atracción para todas las culturas con matemáticos dedicados, de esta forma se tiene que el matemático chino Liu Hui fue el primero en sugerir[6] que 3,14 era una buena aproximación, usando un polígono de 96 lados.[7] Posteriormente estimó π como 3,14159 empleando un polígono de 3072 lados.[7] [8]

En el siglo V, el matemático y astrónomo chino Zu Chongzhi calculó π en 3,1415926 al que llamo «valor por defecto» y 3,1415927 «valor por exceso», y dio dos aproximaciones racionales de π: 22/7 y 355/113 muy conocidas ambas,[9] siendo la ultima aproximación tan buena y precisa que no fue igualada hasta 900 años después, en el siglo XV.[7]

En el siglo XV, el matemático persa Ghiyath al-Kashi fue capaz de calcular π con 9 dígitos empleando una base numérica sexagesimal, lo que equivale a una aproximación de 16 dígitos decimales: 2π = 6,2831853071795865.

Renacimiento europeo

John Wallis, (1616–1703).

John Wallis, (1616–1703).

Leonhard Euler, (1707–1783).

Leonhard Euler, (1707–1783).

A partir del siglo XII, con el uso de cifras arábigas en los cálculos, se facilitó mucho la posibilidad de obtener mejores cálculos para π. El matemático Leonardo Pisano, en su «Practica Geometriae», amplifica el método de Arquímedes, proporcionando un intervalo más estrecho. Algunos matemáticos del siglo XVII, como Vieta, usaron polígonos de hasta 393.216 lados para aproximarse con buena precisión a 3,141592653.

El matemático inglés John Wallis desarrolló en 1655 la conocida serie Producto de Wallis:

 \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \dots = \frac{\pi}{2} .

De la misma forma Leibniz calculó de una forma más complicada en 1682 la siguiente serie que lleva su nombre:

 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots = \frac{\pi}{4} .

Época moderna (pre-computacional)

Fue en el año 1706 cuando el galés William Jones afirmó «3,14159 andc. = π». Leonhard Euler adoptó el conocido símbolo en 1737 e instantáneamente se convirtió en una notación estándar hasta hoy en día.

En 1610 el matemático Ludolph van Ceulen calculó los 35 primeros decimales de π. Se dice que estaba tan orgulloso de esta hazaña que lo mandó grabar en su lápida. Los libros de matemática alemanes durante muchos años denominaron a π como número ludofiano.

El matemático japonés Takebe empezó a calcular el número π en el año 1722 con el mismo método expuesto por Arquímedes, y fue ampliando el número de lados para polígonos circunscritos e inscritos hasta llegar a 1.024 lados. Este ingente trabajo consiguió que se determinara π con 41 decimales.

En 1789 el matemático de origen eslovaco Jurij Vega, mediante la fórmula de John Machin descubierta en 1706, fue el primero en averiguar los primeros 140 decimales de π, de los cuales 126 eran correctos; este récord se mantuvo durante 52 años, hasta que en 1841 William Rutherford calculó 208 decimales de los cuales 152 eran correctos.

El matemático aficionado de origen inglés William Shanks consumió cerca de 20 años de su vida calculando π con 707 decimales (evento acaecido en 1873). En el año 1944, D. F. Ferguson encontró un error en la posición decimal 528, a partir del cual todos los dígitos posteriores eran erróneos. En 1947, Ferguson recalculó π con 808 decimales con la ayuda de una calculadora mecánica.

Época moderna (computacional)

Desde el diseño de la primera computadora se empezaron a desarrollar programas para el cálculo del número π con la mayor cantidad de cifras posibles. De esta forma, en 1949 un ENIAC fue capaz de romper todos los récords del momento con 2037 lugares decimales (en 70 horas). Poco a poco se fueron sucediendo los ordenadores que batían récords, y de esta forma pocos años después (1954) un NORAC llegó a 3092 cifras. Durante casi toda la década de los años 1960 los IBM fueron batiendo récords, hasta que un IBM 7030 pudo llegar en 1966 a 250.000 cifras decimales (8 h y 23 min). Durante esta época se probaban las nuevas computadoras con algoritmos para la generación de series de números procedentes de π.

Ya en la década de 2000, los ordenadores eran capaces de sacar cifras récord inmensamente grandes; en 2004 fueron capaces de sacar 1,3511 billones de lugares decimales mediante el uso de una supercomputadora Hitachi, que llegó a trabajar sólo 500 horas para realizar el cálculo.

Año Descubridor Ordenador utilizado Número de cifras decimales
1949 G.W. Reitwiesner y otros[10] ENIAC 2.037
1954 NORAC 3.092
1959 Guilloud IBM 704 16.167
1967 CDC 6600 500.000
1973 Guillord y Bouyer[10] CDC 7600 1.001.250
1981 Miyoshi y Kanada[10] FACOM M-200 2.000.036
1982 Guilloud 2.000.050
1986 Bailey CRAY-2 29.360.111
1986 Kanada y Tamura[10] HITAC S-810/20 67.108.839
1987 Kanada, Tamura, Kobo y otros NEC SX-2 134.217.700
1988 Kanada y Tamura Hitachi S-820 201.326.000
1989 Hermanos Chudnovsky CRAY-2 y IBM-3090/VF 480.000.000
1989 Hermanos Chudnovsky IBM 3090 1.011.196.691
1991 Hermanos Chudnovsky 2.260.000.000
1994 Hermanos Chudnovsky 4.044.000.000
1995 Kanada y Takahashi HITAC S-3800/480 6.442.450.000
1997 Kanada y Takahashi Hitachi SR2201 51.539.600.000
1999 Kanada y Takahashi Hitachi SR8000 68.719.470.000
1999 Kanada y Takahashi Hitachi SR8000 206.158.430.000
2002 Kanada y otros[10] [3] Hitachi SR8000/MP 1.241.100.000.000
2004 Hitachi 1.351.100.000.000

En la época computacional del cálculo de π las cifras se han disparado, no sólo debido a la potencia de cálculo que estas máquinas son capaces de generar, sino también por el prestigio que conlleva para el constructor de la máquina el que su marca aparezca en la lista de los récords.

Propiedades matemáticas

Se muestra la relación ente un cuadrado de lado r y un c�rculo de radio r. El área del c�rculo es πr2.

Se muestra la relación ente un cuadrado de lado r y un círculo de radio r. El área del círculo es πr2.

Definiciones

Es Euclides el primero en demostrar que la relación entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia es constante.[11] Existen, no obstante, diversas definiciones más del número π; entre las más famosas se encuentran:

  • Es una proporción constante entre el perímetro de una circunferencia con la amplitud de su diámetro.
  • Es el área de un círculo de radio unidad del plano euclídeo.
  • Es el menor número real x positivo tal que sen(x) = 0.

Irracionalidad y trascendencia

Artículo principal: Prueba de que π es irracional

Se trata de un número irracional, lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros, como demostró Johann Heinrich Lambert en 1761 (o 1767). También es un número trascendental, es decir que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros. En el siglo XIX el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró este hecho, cerrando con ello definitivamente la permanente y ardua investigación acerca del problema de la cuadratura del círculo indicando que no tiene solución.

También se sabe que π tampoco es un número de Liouville (Mahler,[12] 1953), es decir, no sólo es trascendental sino que no puede ser aproximado por una secuencia de racionales “rápidamente convergente” (Stoneham 1970[cita requerida]).

Las primeras 200 cifras decimales

A pesar de tratarse de un número irracional continúa siendo averiguada la máxima cantidad posible de decimales. Los 200 primeros son:

π ≈ 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196

Para ver secuencias mayores de este número consúltese las referencias, así como A00796 y OEIS.

Tanto en ciencia como en ingeniería esta constante puede emplearse la mayoría de las veces con una precisión de solo una docena de decimales. Con 50 decimales se podría describir con precisión la curvatura del Universo con un error más pequeño que el tamaño de un protón.[13]

Fórmulas que contienen a π …

En geometría

En probabilidad

  • La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre sí es: 6/π²
  • Si se eligen al azar dos números positivos menores que 1, la probabilidad de que junto con el número 1 puedan ser los lados de un triángulo obtusángulo es: (π-2)/4
  • El número medio de formas de escribir un entero positivo como suma de dos cuadrados perfectos es π/4 (el orden es relevante).
  • Aguja de Buffon: si lanzamos al azar una aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas líneas paralelas separadas una distancia D, la probabilidad de que la aguja corte a una línea es: Lπ/2D

En análisis matemático

 \sum_{n=0}^{\infty }{{{\left(-1\right)^{n}}\over{2\,n+1}}}=\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}
 \prod_{n=1}^{\infty }{{{4\,n^2}\over{4\,n^2-1}}}=\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}
 \sum_{n=0}^{\infty }\cfrac{2^n n!^2}{(2n + 1)!}=1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \cdots = \frac{\pi}{2}
 e^{\pi i} + 1 = 0\;
 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
 n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n
 \zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}
\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}
 \frac{4}{\pi} = 1 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{4}{5 + \cfrac{9}{7 + \cfrac{16}{9 + \cfrac{25}{11 + \cfrac{36}{13 + ...}}}}}}
  • También como desarrollo en series:
 \pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{2(-1)^k\; 3^{\frac{1}{2} - k}}{2k+1}
 \frac {355}{113} = 3.141592....
 \sqrt[29] {261424513284461} \approx \pi
  • Método de Monte Carlo
En un círculo de radio r inscrito en un cuadrado de lado 2R (2 veces el radio), el área del círculo es πr² y la del cuadrado (2r)². De esto se deduce que la relación de área entre el cuadrado y el círculo de π/4.
Extrapolando esto podemos inferir que, generando N número aleatorios dentro del área del cuadrado, aproximadamente Nπ/4 de estos puntos estarán dentro del círculo.
Si de N puntos generados, M están dentro del círculo, podemos determinar el valor de π.
Aquí se puede ver programa que nos demuestra la teoría: [4]

Cómputos de π

Véase también: Categoría:Algoritmos de cálculo de Pi

Pi y los números primos

Utilizando el inverso del producto de Euler para la función zeta de Riemann y para el valor del argumento igual a 2 se obtiene:

\frac{1}{\zeta(2)}=\lim_{n\to\infty \atop p_n \in \mathbf{P}}\left (1-\frac{1}{2^2}\right )\left (1-\frac{1}{3^2}\right )\left (1-\frac{1}{5^2}\right )\left (1-\frac{1}{7^2}\right )\left (1-\frac{1}{11^2}\right )...\left (1-\frac{1}{p_{n}^2}\right )=\frac{6}{\pi^2}

donde pn es el n-ésimo número primo. Euler fue el primero en hallar este valor de la función zeta (empleando la expresión de sumatoria) y resolviendo así el famoso Problema de Basilea.

Fórmula de Machín

Una forma exacta de poder calcular π en términos de tangentes inversas de fracciones unitarias es la fórmula de Machin, descubierta en 1706:

\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}

Muchos matemáticos emplearon esta fórmula para averiguar dígitos por encima de la centena (por ejemplo, el ya citado Shanks, que con esta fórmula calculó 707 posiciones decimales de π).

Métodos eficientes

Los primeros millones de dígitos de π y 1/π se pueden consultar en Proyecto Gutenberg (véase enlaces externos). Uno de los records más recientes fue alcanzado en diciembre de 2002 por Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio, fijando el número pi con 1.241.100.000.000 dígitos; se necesitaron unas 602 horas con un superordenador de 64 nodos Hitachi SR8000 con una memoria de un terabyte capaz de llevar a cabo 2 billones de operaciones por segundo, más de seis veces el record previo (206 mil millones de dígitos). Para ello se emplearon las siguientes fórmulas modificadas de Machin:

 \frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}
  • F. C. W. Störmer (1896).
 \frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}

Estas aproximaciones proporcionaron una cantidad tan ingente de dígitos que puede decirse que ya no es útil sino para comprobar el funcionamiento de los superordenadores. La limitación no está en la computación sino en la memoria necesaria para almacenar una cadena con una cantidad tan grande de números.

Aproximaciones geométricas a π

Es posible obtener una aproximación al valor de π de forma geométrica. De hecho, ya los griegos intentaron obtener sin éxito una solución exacta al problema del valor de π mediante el empleo de regla y compás. El problema griego conocido como cuadratura del círculo o, lo que es lo mismo, obtener un cuadrado de área igual al área de un círculo cualquiera, lleva implícito el cálculo del valor exacto de π.

Una vez demostrado que era imposible la obtención de π mediante el uso de regla y compás, se desarrollaron varios métodos aproximados. Dos de las soluciones aproximadas más elegantes son las debidas a Kochanski (usando regla y compás) y la de Mascheroni (empleando únicamente un compás).

Método de Kochanski

Se dibuja una circunferencia de radio R. Dentro de ella se inscribe un hexágono y se toma el triángulo OEG. Se traza una paralela al segmento EG que pase por A, prolongándola hasta que se corte con el segmento OE, obteniendo D. Desde el punto D y sobre ese segmento se transporta 3 veces el radio de la circunferencia y se obtiene el punto C. El segmento BC es aproximadamente la mitad de la longitud de la circunferencia.

Método de Kochanski

Demostración (suponiendo R = 1)

 BC^2=AB^2+(3-DA)^2 \,\!

 OF= \frac{\sqrt{3}}{2}

 \frac{DA}{EF} = \frac{OA}{OF} \rightarrow \frac{DA}{1/2}=\frac{1}{\sqrt{3}/2} \rightarrow DA=\frac{\sqrt{3}}{3}

Sustituyendo en la primera fórmula:

 BC^2= 2^2+\left (3-\frac{\sqrt{3}}{3}\right )^2 \rightarrow BC = \sqrt{40-6 \sqrt{3} \over 3}=3,141533...

Método de Mascheroni

Desarrollado por Lorenzo Mascheroni, se dibuja una circunferencia de radio R y dentro de ella se inscribe un hexágono. El punto D es la intersección de los arcos de circunferencia A’B con centro en A’ y el arco AC con centro en A. El punto E es la intersección del arco BD con centro en B con la circunferencia. El segmento AE es aproximadamente un cuarto de la longitud de la circunferencia

Método de Mascheroni

Demostración (suponiendo R = 1)

AD=AC=\sqrt{3}  OD=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}

 BE=BD=\sqrt{(OD-MB)^2+MO^2}=\sqrt{\left( \sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2+\frac{1}{4}}=\sqrt{3-\sqrt{6}}

Por el teorema de Ptolomeo en el cuadrilátero ABEB’

 BB' \cdot AE=AB \cdot EB' + BE \cdot AB'

 2 \cdot AE= \sqrt{1+\sqrt{6}}+\sqrt{9-3 \cdot \sqrt{6}}=3,142399...

Uso en matemáticas y ciencia

π es ubicuo en matemáticas; aparece incluso en lugares que carecen de una conexión directa con los círculos de la geometría euclídea.[14]

Geometría y trigonometría

Véase también: Área de un círculo

Para cualquier círculo con radio r y diámetro d=2r, la circunferencia es πd y el área es πr2. Además, π aparece en fórmulas para áreas y volúmenes de muchas otras figuras geométricas basadas en el círculo, como elipses, esferas, conos, y toroides.[15] π aparece en integrales definidas que describen la circunferencia, área o volumen de figuras generadas por círculos. En el caso básico, la mitad del área de un disco unitario está dada por:[16]

\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}

y

\int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \pi

da la mitad de la circunferencia del círculo unitario.[17] Se puede integrar formas más complicadas como sólidos de revolución.[18]

De la definición de las funciones trigonométricas desde el círculo unitario se llega a que el seno y el coseno tienen período 2π. Lo que significa, para todo x y enteros n, sin(x) = sin(x + 2πn) y cos(x) = cos(x + 2πn). Porque sin(0) = 0, sin(2πn) = 0 para todos los enteros n. Además, el ángulo 180° es igual a π radianes. En otras palabras 1° = (π/180) radianes.

En matemáticas modernas, π es a menudo definido usando funciones trigonométricas, por ejemplo como el menor entero positivo x para el cual sinx = 0, para evitar dependencias innecesarias de las sutilezas de la geometría euclidiana y la integración. Equivalentemente, π puede ser definido usando funciones trigonométricas inversas, por ejemplo como π = 2 arccos(0) o π = 4 arctan(1). Expandir funciones trigonométricas inversas como series de potencias es la manera más fácil de obtener series infinitas para π.

Análisis superior y teoría de números

La frecuente aparición de π en análisis complejo puede estar relacionada con el comportamiento de la función exponencial de una variable compleja, descrito por la fórmula de Euler

e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi \!

donde i es la unidad imaginaria que satisface la ecuación i2 = − 1 y e ≈ 2.71828 es el número de Euler. Esta fórmula implica que las potencias imaginarias de e describen rotaciones un círculo unitario en el plano complejo; estas rotaciones tienen un período de 360º = 2π. En particular, la rotación de 180º φ = π resulta en la notable identidad de Euler

e^{i \pi} = -1.\!

Hay n diferentes raíces n-ésimas de la unidad

e^{2 \pi i k/n} \qquad (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1).

La integral de Gauss

\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}.

Una consecuencia es que el resultado de la división entre la función gamma de un semientero (la mitad de un número impar) y √π es un número racional.

Física

Aunque no es una constante física, π aparece rutinariamente en ecuaciones que describen los principios fundamentales del Universo, Debido en gran parte a su relación con la naturaleza del círculo y, correspondientemente, con el sistema de coordenadas esféricas. Usando unidades como las unidades de Planck se puede eliminar a veces a π de las fórmulas.

\Lambda = {{8\pi G} \over {3c^2}} \rho
 \Delta x\, \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}
 R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik}
 F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}
 \mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{N/A^2}\,
\frac{P^2}{a^3}={(2\pi)^2 \over G (M+m)}

Probabilidad y estadística

En probabilidad y estadística, hay muchas distribuciones cuyas fórmulas contienen a π, incluyendo:

f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-(x-\mu )^2/(2\sigma^2)}
f(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}.

Nótese que para todas las funciones de densidad de probabilidad se cumple que\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1, entonces las fórmulas anteriores pueden usarse para producir otras fórmulas integrales para π.[26]

Representación del experimento en el modelo de la

Representación del experimento en el modelo de la “aguja de Buffon”, se lanzas dos agujas (a, b) ambas con longitud l. En el dibujo la aguja a está cruzando la línea mientras que la aguja b no.

El problema de la aguja de Buffon es llamado en ocasiones como una aproximación empírica de π. Se trata de lanzar una aguja de longitud l repetidamente sobre una superficie en la que se han trazado rectas paralelas distanciadas entre sí, en t unidades, de manera uniforme (con t > l de forma que la aguja no pueda tocar dos rectas). Si la aguja se lanza n veces y x de esas cae cruzando una línea, entonces se puede aproximar π usando el Método de Monte Carlo, lanzándola gran cantidad de veces:[27] [28] [29] [30]

\pi \approx \frac{2nl}{xt}.

Aunque este resultado es matemáticamente impecable, no puede usarse más que para determinar unos cuantos dígitos de π experimentalmente. Para conseguirse sólo tres dígitos correctos (incluyendo el “3” inicial) requiere de millones de lanzamientos,[27] y el número de lanzamientos crece exponencialmente con el número de dígitos deseados. Además, cualquier error en la medida de las longitudes l y t se transfiere directamente como un error en la aproximación de π. Por ejemplo, una diferencia de un simple átomo en una aguja de 10 centímetros podría acarrear errores en el noveno dígito del resultado. En la práctica, incertidumbres en la determinación de si la aguja en realidad cruza una línea que parece estar solo tocándola lleva el límite de precisión alcanzable a mucho menos de 9 dígitos.

Curiosidades

Existen algunas curiosidades no científicas relacionadas directamente o indirectamente con este número. Hay quien afirma, por ejemplo, que los grandes ríos de las grandes llanuras recorren algo más de tres veces la distancia que habría en línea recta entre su nacimiento y su desembocadura…[cita requerida]

Reglas nemotécnicas

Es muy frecuente emplear poemas como regla nemotécnica para poder recordar las primeras cifras del número pi.

  • Una forma de memorizar los 20 primeros dígitos es con este poema, sólo hay que contar las letras de cada palabra:

Soy y seré a todos definible
mi nombre tengo que daros
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros

  • Otra versión, que permite enumerar los 27 primeros dígitos, es la siguiente:“¿Qué? ¿Y cómo π reúne infinidad de cifras? ¡Tiene que haber períodos repetidos! Tampoco comprendo que de una cantidad poco sabida se afirme algo así, tan atrevido!” Nótese que para el segundo 1 (3,14159…) se utiliza la letra griega π.
  • Un tercer poema:

Voy a amar a solas, deprimido
no sabrán jamás que sueño hallarte,
perímetro difícil, escondido
que en mis neuronas late…
Oscuro el camino para ver
los secretos que tú ocultas
¿hallarlos podré?…

  • Otra regla, que permite recordar las primeras 32 cifras:”Soy π, lema y razón ingeniosa de hombre sabio, que serie preciosa valorando, enunció magistral. Por su ley singular, bien medido el grande orbe por fin reducido fue al sistema ordinario usual.“Aquí también se utiliza la letra griega π para el primer 1.

Existen cuentos amplios que son capaces de hacer memorizar una gran cantidad de dígitos, tal es el Cadaeic Cadenza escrita en 1996 por el matemático Michael Keith ofreciendo la posibilidad de memorizar los primeros 3834 dígitos. De esta forma tomando “A” como 1, “B” como 2, “C” como 3, etc., el nombre de la historia saca los dígitos de pi, como “Cadaeic” es la primera palabra de 7 dígitos de pi:

C a d a e i c
3.1 4 1 5 9 3

Es de resaltar que en cada idioma existen diferentes reglas nemotécnicas (se aconseja visitar cada Wikipedia para descubrir el arte empleado en cada idioma).

Aparición en medios

  • En el año 1998 aparece una película del director Darren Aronofsky denominada Pi sobre un matemático que cree que el mundo se representa por números.
  • Alfred Hitchcock en su film Cortina rasgada hace aparecer el símbolo π como una organización de espionaje.
  • En la serie de dibujos The Simpsons (episodio Bye Bye Nerdie), “¡π es tres exactamente!” anuncio hecho por el profesor Professor Frink para poder atraer la atención de Lisa Simpson y de la mitad de los científicos.
  • En la serie Futurama aparecen diferentes referencias a π, tales como ‘aceite π en 1′, y ‘compre en πkea’.
  • La novela Contacto de Carl Sagan —sobre la que luego se filmó la película homónima— toma a π (aunque no en base decimal) como un número que esconde la esencia misma del universo.

Datos interesantes

Escultura de Pi en la ciudad de Seattle.

Escultura de Pi en la ciudad de Seattle.
Piso-Pi mosaico en la entrada del edificio de las matemáticas en TU Berl�n.

Piso-Pi mosaico en la entrada del edificio de las matemáticas en TU Berlín.
Detalle del

Detalle del “Mazda Pi”, se añadieron 27 cifras decimales de π a este automóvil.
Construcción aproximada para la cuadratura del c�rculo, encontrada por Ramanujan.

Construcción aproximada para la cuadratura del círculo, encontrada por Ramanujan.
  • El día 22 de julio (22/7) es el día dedicado a la aproximación de π.
  • El 14 de marzo (3/14 en formato de fecha de Estados Unidos) se marca también como el día pi en el que los fans de este número lo celebran con diferentes actuaciones. Curiosamente es el cumpleaños de Einstein.
  • 355/113 (~3.1415929) se menciona a veces como una simulación ¡”cuasi-perfecta”!.
  • Los usuarios del buscador A9.com que eligen su tienda virtual como amazon.com ofrecen descuentos de (π/2)% en sus compras.
  • John Squire (de la banda The Stone Roses) menciona π en una canción escrita para su segunda banda The Seahorses denominada “Something Tells Me”. La canción acaba con una letra como: “What’s the secret of life? It’s 3.14159265, yeah yeah!!”.
  • El primer millón de cifras de π y su inversa 1/π se puede consultar en el Proyecto Gutenberg o en este enlace.
  • La numeración de las versiones del programa de tratamiento de texto TeX de Donald Knuth se realiza según los dígitos de π. La versión del año 2002 se etiquetó con 3.141592
  • Se emplea este número en la serie de señales enviadas por la tierra con el objeto de ser identificados por una civilización inteligente extraterrestre.
  • La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre si es 6 / π2
  • Existen programas en internet que buscan tu número de teléfono en las 50.000.000 primeras cifras de π
  • En algunos lenguajes de programación se pueden averiguar tantos dígitos como se desee con simplemente emplear expresiones como: RealDigits[ N[ Pi, 105]] en «Mathematica».
  • En el año 2002 el japonés Akira Haraguchi rompió el record mundial recitando durante 13 horas 83.431 dígitos del número pi sin parar, doblando el anterior record en posesión del también japonés Hiroyuki Goto. El 4 de octubre de 2006, a la 1:30 de la madrugada, y tras 16 horas y media, Haraguchi volvió a romper su propio record recitando 100.000 dígitos del número pi, realizando una parada cada dos horas de 10 minutos para tomar aire.
  • El máximo número de dígitos de π necesario para buscar cualquier secuencia de día-mes-año con cuatro dígitos en la expansión decimal de pi es 60.872.
  • Existe una canción de Kate Bush llamada “Pi” en la cual se recitan más de veinte dígitos decimales del número.
  • En Argentina, el número telefónico móvil para emergencias en estaciones de trenes y subterráneos es el número Pi: 3,1416.[31]
  • El valor principal de la expresión ii es un número real y está dado por[32] i^i=\left(e^{i\pi /2}\right)^i=e^{i^2\pi /2}=e^{-\pi /2}=0.207879...
  • En la página web thinkgeek.com pueden comprarse camisetas y accesorios con π. En el enlace se puede ver una camiseta en la que se construye la letra π con sus primeros 4493 digitos.[33] [34]
  • Existe un vehículo Mazda 3 modificado, al que se le añadieron 27 cifras de π, después del 3.[35]
  • Srinivasa Ramanujan publicó una solución aproximada,con regla y compás, a la cuadratura del círculo en 1913 en la que obtuvo un segmento aproximadamente igual a r \sqrt{\pi}:[36]

\mbox{segmento} =\frac{d}{2}\sqrt{\frac{355}{113}}\approx r\sqrt{\pi}

Días de Aproximación a Pi

Artículo principal: Día Pi

Según determinadas coincidencias numéricas, los Días de Aproximación a Pi son:

  • 14 de marzo
  • 26 de abril
  • 22 de julio
  • 10 de noviembre
  • 21 de diciembre

Cuestiones abiertas sobre π

  • Cada uno de los dígitos decimales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, ¿tiene una aparición infinita en los decimales de π?
  • La denominada cuestión de Brouwer: en la expansión decimal de π, ¿existe alguna posición donde exista una sucesión de mil ceros consecutivos?
  • ¿Es π simplemente normal en base 10? Es decir, ¿qué hace que cada uno de los diez dígitos del sistema decimal tenga la misma probabilidad de aparición en una expansión decimal?
  • ¿Es π normal en base 10? Es decir, si tomamos un bloque de n dígitos con una ordenación cualquiera de estos bloques ¿Tiene la misma probabilidad de aparición?
  • No se sabe si π+e, π/e , ln π son irracionales. Se sabe que no pueden ser raíces de polinomios grado inferior a ocho y con coeficientes enteros del orden 109.[37] [38]

Referencias

  1. G L Cohen and A G Shannon, John Ward’s method for the calculation of pi, Historia Mathematica 8 (2) (1981), 133-144
  2. New Introduction to Mathematics, William Jones, 1706, London
  3. Gay Robins y Charles Shute: “The Rhind Mathematical Papyrus: an ancient Egyptian text”, British Museum Publications, London , 1987, véase “Squaring the Circle”, páginas 44 a 46
  4. “The Exact Sciences in Antiquity”, Otto Neugebauer, 1957, Dover, New York ,(nueva edición de 1969).
  5. Petr Beckmann: “A History of Pi”, publicada por primera vez por The Golem Press, 1971, edición consultada por Barnes and Noble Books, New York , 1993.
  6. A Volkov, Calculation of π in ancient China: from Liu Hui to Zu Chongzhi, Historia Sci. (2) 4 (2) (1994), 139-157
  7. a b c Boyer Carl (1999), Historia de la Matematica, Madrid : Alianza Editorial. 84-206-8186-5.
  8. MacTutor Biografy:Liu Hui (ingles)
  9. C Jami, Une histoire chinoise du ‘nombre π’, Archive for History of Exact Sciences 38 (1) (1988), 39-50
  10. a b c d e Bailey David H. , Some Background on Kanada’s Recent Pi Calculation (2003). Disponible en este enlace. Consultada:22 de abril de 2008
  11. Elementos. Euclides, Libro V
  12. Mahler, K. “On the Approximation of .” Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 56/Indagationes Math. 15, 30-42, 1953.
  13. Bailey, David H., Borwein, Peter B., and Borwein, Jonathan M. (January 1997). “The Quest for Pi”. Mathematical Intelligencer (1): 50-57.
  14. Japonés rompe el récord de memorizar cifras de pi. BBC News (2 de febrero de 2005). Consultado el 2007-10-30.
  15. Área y circunferencia de un Círculo de Arquímedes. Penn State. Consultado el 2007-11-08.
  16. Weisstein, Eric W (28 de enero de 2006). Unit Disk Integral. MathWorld. Consultado el 2007-11-08.
  17. Area and Circumference of a Circle by Archimedes. Penn State. Consultado el 2007-11-08.
  18. Weisstein, Eric W (4 de mayo de 2006). Solid of Revolution. MathWorld. Consultado el 2007-11-08.
  19. Miller, Cole. The Cosmological Constant (PDF). University of Maryland. Consultado el 2007-11-08.
  20. Imamura, James M (2005-08-17). Heisenberg Uncertainty Principle. University of Oregon. Consultado el 2007-11-09.
  21. Einstein, Albert (1916). “The Foundation of the General Theory of Relativity” (PDF). Annalen der Physik. Consultado el 2007-11-09.
  22. Nave, C. Rod (2005-06-28). Coulomb’s Constant. HyperPhysics. Georgia State University. Consultado el 2007-11-09.
  23. Magnetic constant. NIST (2006 CODATA recommended values). Consultado el 2007-11-09.
  24. Weisstein, Eric W (2004-10-07). Gaussian Integral. MathWorld. Consultado el 2007-11-08.
  25. Weisstein, Eric W (2005-10-11). Cauchy Distribution. MathWorld. Consultado el 2007-11-08.
  26. Weisstein, Eric W (2003-07-02). Probability Function. MathWorld. Consultado el 2007-11-08.
  27. a b Weisstein, Eric W (2005-12-12). Buffon’s Needle Problem. MathWorld. Consultado el 2007-11-10.
  28. Bogomolny, Alex (2001-08). Math Surprises: An Example. cut-the-knot. Consultado el 2007-10-28.
  29. Ramaley, J. F. (Oct 1969). “Buffon’s Noodle Problem”. The American Mathematical Monthly 76 (8): 916-918.
  30. The Monte Carlo algorithm/method. datastructures (2007-01-09). Consultado el 2007-11-07.
  31. http://www.mininterior.gov.ar/camarasenvivo/inicio.asp
  32. Unidad imaginaria en Mathworld [1] (en inglés). consulta: 21 de abril de 2008
  33. Camisetas de pi en gaussianos.com. Consultado: 23 de abril de 2008.
  34. Página de ventas de camisetas pi en thinkgeek.com. Consultado: 23 de abril de 2008
  35. “Mazda Pi” en Gaussianos.com. Consultado: 23 de abril de 2008
  36. Ramanujan, Srinivasa (1913). “Squaring the circle” (djvu). Journal of the Indian Mathematical Society. Consultado el 2008-04-25.
  37. Bailey, D. H. “Numerical Results on the Transcendence of Constants Involving π, e and Euler’s Constant.” Math. Comput. 50, 275-281, 1988a.
  38. Pi en Mathworld [2] (en inglés). consulta: 21 de abril de 2008

Véase también

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