Relatividad general

"Soy en verdad un viajero solitario -expresó Einstein e una ocasión-, y los ideales que han iluminado mi camino y han proporcionado una y otra vez nuevo valor para afrontar la vida han sido: la belleza, la bondad y la verdad."

Para una correcta comprensión de este artículo es recomendable poseer conocimientos previos de mecánica newtoniana, electromagnetismo (ecuaciones de Maxwell) y una visión genérica de la Teoría de la Relatividad en su conjunto.

Aquellos lectores que carezcan de ellos tienen a su disposición una Introducción a la relatividad general

Explosión de la supernova SN 2006gy, situada a 238 millones de años luz. De ser válido el principio de acción a distancia, las perturbaciones de origen gravitatorio de este estallido llegarían a nosotros automáticamente, mucho antes que las de origen electromagnético, que viajan a una velocidad constante, la de la luz.

La Teoría general de la relatividad o relatividad general es una teoría del campo gravitatorio y de los sistemas de referencia generales, publicada por Albert Einstein en 1915 y 1916.

Tímido y retraído, con dificultades en el lenguaje y lento para aprender en sus primeros años escolares; apasionado de las ecuaciones, cuyo aprendizaje inicial se lo debió a su tío Jakov que lo instruyó en una serie de disciplinas y materias, entre ellas álgebra: «…cuando el animal que estamos cazando no puede ser apresado lo llamamos temporalmente «x» y continuamos la cacería hasta que lo echamos en nuestro morral», así le explicaba su tío, lo que le permitió llegar a temprana edad a dominar las matemáticas. Dotado de una exquisita sensibilidad que desplegó e el aprendizaje del violín, Albert Einstein fue el hombre destinado a integrar y proyectar, en una nueva concepción teórica, el saber que muchos hombres de ciencia anteriores prepararon con laboriosidad y grandeza.

Nacido en Ulm, Alemania el 14 de marzo de 1879. Antes cumplir dos años, su familia se trasladó a Munich, donde permaneció hasta 1895, período en el cual vio su vida trastornada cuando su familia se trasladó a Italia después del hundimiento de la firma eléctrica de su padre en Munich. Dejado en Munich para que terminara el año escolar, Albert decidió muy pronto abandonar el curso. y reunirse con su familia, cuando aún le faltaban tres años para terminar su educación media. El colegio no lo motivaba; era excelente en matemáticas y física pero no se interesaba por las otras materias. Así, a la edad de dieciséis años, Albert tuvo la oportunidad de conocer la gran tradición cultural italiana; admirar las obras de Miguel Ángel, que le impactara profundamente, y recorrer Italia pensando y estudiando por su cuenta. Durante este período empezó a contemplar los efectos del movimiento a la velocidad de la luz, un rompecabezas cuya resolución cambiaría para siempre la, física y la cosmología.

En Italia tuvo toda la libertad que quería y gozó por un tiempo de su vida, pero su padre lo obligó a pensar en la universidad. Regresó a Munich y luego se traslado a Zurich, en Suiza, para continuar sus estudios. En esta última ciudad no pudo ingresar a la universidad debido a no haber completado sus estudios secundarios. Alternativamente decidió incorporarse al Instituto Politécnico de Zurich, donde logró estudiar física y matemáticas con Heinrich Weber y Hermann Minkowski. Fue condiscípulo de Marcel Grossmann, que llegó a ser su gran amigo. Pero en la nación helvética, los caminos que tuvo que recorrer Albert Einstein no fueron fáciles. Llegó a conocer el hambre, la segregación académica – por no ser suizo – y también llegó a casarse con una joven matemática croata, Mileva Maric, luego de haber terminado sus estudios, en el año 1900, y de haber obtenido la nacionalidad suiza.

Con la graduación llegó el final de la asignación que le pasaba su familia, y Einstein tuvo que buscar trabajo. Sin recomendaciones -más tarde recordó que «no estaba en buenas relaciones con ninguno de sus anteriores maestros»-, no pudo encontrar ningún trabajo permanente y tuvo que arreglárselas de maestro para dictar clases particulares y/o a tiempo parcial. Después de dos años de empleos esporádicos, Einstein se volvió a beneficiar de la amistad de Marcel Grossmann, a quién había conocido en sus tiempos de estudiantes del Instituto Politécnico de Zurich, que por aquel entonces estaba enseñando matemáticas. A través de su contacto familiar, Grossmann consiguió para Einstein un puesto como experto técnico de tercera clase en la Oficina de Patentes suiza en Berna.

Trabajando en la oficina de patentes de Berna, Einstein pudo escamotear tiempo en su trabajo, gracias al dominio que había logrado en las funciones que desempeñaba, y dedicarlo para sus propios estudios sobre temas tales como las propiedades físicas de la luz. Por las noches trabajaba en ciencias o invitaba a algunos amigos a su apartamento para hablar de física, filosofía y literatura. Estas reuniones solían ser animadas y ruidosas duraban hasta altas horas de la noche, ante la irritación de sus vecinos. Aunque Einstein era esencialmente un solitario, la oportunidad de desarrollar ideas y probarlas sobre los agudos intelectos de sus amigos era valiosísima. Empezó a publicar los resultados de sus investigaciones en uno de los principales diarios científicos, y focalizó sus intuitivos análisis sobre las implicaciones de la cuestión que lo había intrigado años antes: ¿Cómo sería cabalgar en un rayo de luz?

A la temprana edad de veintiséis años, Einstein publicó cuatro trabajos científicos. En uno postula los cuanta de luz, para explicar el efecto fotoeléctrico. El segundo trabajo era acerca del movimiento browniano. Sin duda el trabajo más importante fue el titulado «Acerca de la electrodinámica de los cuerpos en movimiento», donde expone la relatividad especial. En él plantea dos postulados que tienen inmensas consecuencias:

Todos los observadores que se mueven entre sí con velocidad constante son equivalentes en lo que a las leyes de la física se refiere. Este es el principio de relatividad que excluye la noción de espacios y tiempos absolutos.

La velocidad de la luz en el vacío es la misma para todos los observadores, 299.792 kilómetros por segundo, y es independiente del movimiento relativo entre la fuente de luz y el observador. Este postulado explica el resultado negativo del experimento de Michelson y Morley. En esos primeros años Einstein plantea su famosa relación E = m x c², el producto de la masa por el cuadrado de la velocidad de la luz dan la energía asociada a una masa m. Masa y energía son dos formas equivalentes. Esto produjo una revolución en nuestra comprensión de la física del Sol y las estrellas y constituye la base de la energía nuclear.

Hacia 1909, fue nombrado profesor del Instituto Politécnico de Zurich. Actividad docente que luego desarrolló en Praga y Berlín. Einstein trabajó afanosamente en una generalización de su teoría de la relatividad. En 1911, formula el principio de equivalencia entre un movimiento acelerado y un campo gravitacional.

Separado de su primera mujer, con la cual tuvo dos hijos varones, contrajo matrimonio con su prima Elsa Einstein en 1915, que también era separada y con dos hijas. Un año después, en 1916, dio a conocer su teoría general de la relatividad, en un periodo pleno de vivacidad y alegría. Escribió a uno de sus amigos: «En el curso de este último mes he vencido el periodo más excitante de mi vida y el más fructífero». En la relatividad general, geometriza la gravitación. Una masa deforma el espaciotiempo a su alrededor y Einstein proporciona las matemáticas que permiten calcular punto a punto la «geometría» en la vecindad de una masa.

Pese a ser de una concepción eminentemente de base de matemática abstracta, la relatividad general tenía un gran número de aplicaciones concretas. Por un lado, explicaba una desconcertante discrepancia en la órbita de Mercurio, el planeta más interior del sistema solar. El perihelio del planeta -el punto en el que está más cerca del Sol- avanzaba cada año en una cantidad significativamente más grande que la predicha por las leyes de Newton. En sus esfuerzos por explicar la diferencia, los astrónomos habían especulado durante algún tiempo en la existencia de un pequeño planeta que orbitara entre Mercurio y el Sol. Einstein demostró que ese cuerpo era innecesario. Su nueva teoría de la gravedad explicaba completamente el misterio de la órbita de Mercurio como una consecuencia del espacio intensamente curvado en las inmediaciones del Sol.

El éxito de esta primera aplicación de la teoría a la observación complació enormemente a Einstein: » Estuve fuera de mí por el éxtasis durante días», escribió a un amigo. La hazaña impresionó también a sus colegas científicos, pero después de todo era una explicación a hechos ya conocidos.

La primera comprobación empírica de la teoría de la relatividad ocurrió, cuando mediciones hechas durante el eclipse total de Sol de 1919 demostraron que sus cálcalos, sobre la curvatura de la luz en presencia de un campo gravitatorio, eran exactos. Cuando se dieron a conocer los resultados en la Royal Society de Londres, su presidente expresó emocionadamente: «No se trata en este caso del descubrimiento de una isla alejada del mundo, sino de todo un nuevo continente de nuevas ideas científicas. Es el más grande descubrimiento concerniente a la gravitación que se haya hecho después que Newton enunció sus principios».

Pero junto con la gloria también se hizo presente el dolor. En poco tiempo había perdido a su hijo Eduardo y fallecían dos de sus hijas: Ilsa y la que había tenido con su primera esposa.

Albert Einstein fue galardonado con el Premio Nobel de Física en el año 1921, por sus investigaciones sobre el efecto fotoeléctrico y sus grandes aportaciones en el terreno de la física teórica.Desde comienzos de los años ’30, y con el avenimiento en Alemania del nazismo, su vida se caracterizó por sus continuos viajes obligados, protegiéndose del régimen gobernante alemán, y por su decidida oposición a éste. Vivió en Coq, Bélgica, accediendo a una invitación de los reyes. Estuvo asimismo en Francia y Gran Bretaña, para finalmente echar raíces en Estados Unidos y, a contar de 1933, establecerse en Princenton. Allí falleció en 1936 su segunda esposa. En 1940, obtuvo la nacionalidad norteamericana y, hasta su muerte, acaecida el 18 de abril de 1955, Einstein trabajó por integrar en una misma teoría las cuatro fuerzas de la naturaleza: gravedad, electromagnetismo, y las subatómica fuerte y débil, las cuales comúnmente reconocemos como «fuerzas de campo».

Einstein escribió numerosos artículos de divulgación para revistas científicas, dictó conferencias que transcribieron, y algunos libros. Los títulos más destacados: Electrodinámica de los cuerpos en movimiento, Fundamentos de la teoría de la relatividad general, Sobre la teoría del campo unificado, Mis ideas y opiniones; La física, aventura del pensamiento, esta última obra escrita en colaboración con Leopold Infeld.

Einstein fue un científico que legó su preeminencia, hasta ahora, sin contrapesos. Genial y con la misma intuición física de Newton, pero con un carácter simpático; un visionario como Kepler, pero que siempre supo mantenerse aterrizado sobre la Tierra, recibió en vida, al igual que Newton, todos los honores y el respeto que un genio tan excepcional merece.

El nombre de la teoría se debe a que generaliza la llamada teoría especial de la relatividad. Los principios fundamentales introducidos en esta generalización son el Principio de equivalencia, que describe la aceleración y la gravedad como aspectos distintos de la misma realidad, la noción de la curvatura del espacio-tiempo y el principio de covariancia generalizado.

La intuición básica de Einstein fue postular que en un punto concreto no se puede distinguir experimentalmente entre un cuerpo acelerado uniformemente y un campo gravitatorio uniforme. La teoría general de la relatividad permitió fundar también el campo de la cosmología.

Resumen de la Ley (Albert Einstein y la relatividad)

Según las leyes del movimiento establecidas por primera vez con detalle por Isaac Newton hacia 1680-89, dos o más movimientos se suman de acuerdo con las reglas de la aritmética elemental. Supongamos que un tren pasa a nuestro lado a 20 kilómetros por hora y que un niño tira desde el tren una pelota a 20 kilómetros por hora en la dirección del movimiento del tren. Para el niño, que se mueve junto con el tren, la pelota se mueve a 20 kilómetros por hora. Pero para nosotros, el movimiento del tren y el de la pelota se suman, de modo que la pelota se moverá a la velocidad de 40 kilómetros por hora.

Como veis, no se puede hablar de la velocidad de la pelota a secas. Lo que cuenta es su velocidad con respecto a un observador particular. Cualquier teoría del movimiento que intente explicar la manera en que las velocidades (y fenómenos afines) parecen variar de un observador a otro sería una «teoría de la relatividad».

La teoría de la relatividad de Einstein nació del siguiente hecho: lo que funciona para pelotas tiradas desde un tren no funciona para la luz. En principio podría hacerse que la luz se propagara, o bien a favor del movimiento terrestre, o bien en contra de él. En el primer caso parecería viajar más rápido que en el segundo (de la misma manera que un avión viaja más aprisa, en relación con el suelo, cuando lleva viento de cola que cuando lo lleva de cara). Sin embargo, medidas muy cuidadosas demostraron que la velocidad de la luz nunca variaba, fuese cual fuese la naturaleza del movimiento de la fuente que emitía la luz.

Einstein dijo entonces: supongamos que cuando se mide la velocidad de la luz en el vacío, siempre resulta el mismo valor (unos 299.793 kilómetros por segundo), en cualesquiera circunstancias. ¿Cómo podemos disponer las leyes del universo para explicar esto? Einstein encontró que para explicar la constancia de la velocidad de la luz había que aceptar una serie de fenómenos inesperados.

Halló que los objetos tenían que acortarse en la dirección del movimiento, tanto más cuanto mayor fuese su velocidad, hasta llegar finalmente a una longitud nula en el límite de la velocidad de la luz; que la masa de los objetos en movimiento tenía que aumentar con la velocidad, hasta hacerse infinita en el límite de la velocidad de la luz; que el paso del tiempo en un objeto en movimiento era cada vez más lento a medida que aumentaba la velocidad, hasta llegar a pararse en dicho límite; que la masa era equivalente a una cierta cantidad de energía y viceversa.

Todo esto lo elaboró en 1905 en la forma de la «teoría especial de la relatividad», que se ocupaba de cuerpos con velocidad constante. En 1915 extrajo consecuencias aún más sutiles para objetos con velocidad variable, incluyendo una descripción del comportamiento de los efectos gravitatorios. Era la «teoría general de la relatividad».

Los cambios predichos por Einstein sólo son notables a grandes velocidades. Tales velocidades han sido observadas entre las partículas subatómicas, viéndose que los cambios predichos por Einstein se daban realmente, y con gran exactitud. Es más, sí la teoría de la relatividad de Einstein fuese incorrecta, los aceleradores de partículas no podrían funcionar, las bombas atómicas no explotarían y habría ciertas observaciones astronómicas imposibles de hacer.

Pero a las velocidades corrientes, los cambios predichos son tan pequeños que pueden ignorarse. En estas circunstancias rige la aritmética elemental de las leyes de Newton; y como estamos acostumbrados al funcionamiento de estas leyes, nos parecen ya de «sentido común», mientras que la ley de Einstein se nos antoja «extraña».

¿Por qué es necesaria la Relatividad General?

Los éxitos explicativos de la teoría de la relatividad especial condujo a la aceptación de la teoría por la mayor parte de los físicos. Antes de la formulación de la relatividad general existían por tanto dos teorías físicas incompatibles:

La teoría especial de la relatividad que integraba adecuadamente el electromagnetismo, y que descarta explícitamente las acciones instantáneas a distancia.
La teoría de la gravitación de Newton que explicaba la gravedad mediante acciones instantáneas a distancia.

La necesidad de buscar una teoría que integrase como casos límites particulares las dos anteriores requería la búsqueda de una teoría de la gravedad que fuese compatible con los nuevos principios relativistas introducidos por Einstein. Además de la formulación de una teoría relativista de la gravitación, hubo otra razón adicional. Einstein había concebido la teoría especial de la relatividad como una teoría aplicable sólo a sistemas de referencia inerciales, aunque realmente puede generalizarse a sistemas acelerados sin necesidad de introducir todo el aparato de la relatividad general. La insatisfacción de Einstein con su creencia de que la teoría era aplicable sólo a sistemas inerciales le llevó a buscar una teoría que proporcionara descripciones físicas adecuadas para un sistema de referencia totalmente general.

Esta búsqueda era necesaria, ya que según la Relatividad Especial ninguna información puede viajar a mayor velocidad que la luz, y por lo tanto no puede existir relación de causalidad entre dos eventos unidos por un intervalo espacial. Sin embargo, uno de los pilares fundamentales de la gravedad newtoniana, el principio de acción a distancia, supone que las alteraciones producidas en el campo gravitatorio se transmiten instantáneamente a través del espacio. La contradicción entre ambas teorías es evidente, puesto que asumir las tesis de Newton llevaría implícita la posibilidad de que un observador fuera afectado por las perturbaciones gravitatorias producidas fuera de su cono de luz.

Einstein resolvió este problema interpretando los fenómenos gravitatorios como simples alteraciones de la curvatura del espacio-tiempo producidas por la presencia de masas. De ello se deduce que el campo gravitatorio, al igual que el campo electromagnético, tiene una entidad física independiente y sus variaciones se transmiten a una velocidad finita en forma de ondas gravitacionales. La presencia de masa, energía o momentum en una determinada región de la variedad tetradimensional, provoca la alteración de los coeficientes de la métrica, en una forma cuyos detalles pormenorizados analizaremos en las secciones siguientes.

Principios generales

Las características esenciales de la teoría general de la relatividad son las siguientes:

El principio general de covariancia: las leyes de la física deben tomar la misma forma en todos los sistemas de coordenadas.
El movimiento libre inercial de una partícula en un campo gravitatorio se realiza a través de trayectorias geodésicas.
El principio de equivalencia o de invariancia local de Lorentz: las leyes de la relatividad especial se aplican localmente para todos los observadores inerciales.

Principio de covariancia

Artículo principal: Principio de covariancia

El principio de covariancia es la generalización de la teoría de la relatividad especial, donde se busca que las leyes para la naturaleza tengan la misma forma en todos los sistemas de referencia, lo cual equivale a que todos los sistemas de referencia sean indistinguibles. En otras palabras, que cualquiera que sea el movimiento de los observadores, las ecuaciones tendrán la misma forma y contendrán los mismos términos. Ésta fue la principal motivación de Einstein para que estudiara y postulara la relatividad general.

El principio de covariancia sugería que las leyes debían escribirse en términos de tensores, cuyas leyes de transformación covariantes y contravariantes podían proporcionar la «invariancia» de forma buscada, satisfaciéndose el principio de covariancia.

El principio de equivalencia

Los dos astronautas de la imagen se encuentran en una nave en ca�da libre. Por ello no experimentan gravedad alguna (su estado se describe coloquialmente como

Los dos astronautas de la imagen se encuentran en una nave en caída libre. Por ello no experimentan gravedad alguna (su estado se describe coloquialmente como «de gravedad cero»). Se dice por ello que son observadores inerciales.

Un hito fundamental en el desarrollo de la teoría de la Relatividad General lo constituyó la enunciación por Albert Einstein en el año 1912 del principio de equivalencia, al que su autor calificó como «la idea más feliz de mi vida». Dicho principio supone que un sistema que se encuentra en caída libre y otro que se mueve en una región del espacio-tiempo sin gravedad se encuentran en un estado físico sustancialmente similar: en ambos casos se trata de sistemas inerciales.

La mecánica clásica distinguía entre cuerpos de movimiento inercial (en reposo o moviéndose a velocidad constante) o cuerpos de movimiento no inercial (aquellos sometidos a un movimiento acelerado). En virtud de la segunda ley de Newton, toda aceleración estaba causada por la aplicación de una fuerza exterior. La relación entre fuerza y aceleración se expresaba mediante esta fórmula:

$a = \frac{F}{m}$

Donde a la aceleración, F la fuerza y m la masa. La fuerza podía ser de origen mecánico, electromagnético, y cómo no, gravitatorio. Según los cálculos de Galieo y de Newton, la aceleración gravitatoria de los cuerpos era constante y equivalía a $9.8 m / s 2$ sobre la superficie terrestre. La fuerza con la que un cuerpo era atraída al centro de la Tierra se denominaba peso. Evidentemente, según los axiomas de la mecánica clásica un cuerpo en caída libre no es un sistema inercial, puesto que es atraído hacia el centro de masas del campo gravitatorio en que se encuentra.

Sin embargo, la Teoría de la Relatividad considera que los efectos gravitatorios no son creados por fuerza alguna, sino que encuentran su causa en la curvatura del espacio-tiempo generado por la presencia de masas. Por ello, un cuerpo en caída libre es un sistema inercial, ya que no está sometido a fuerza alguna (porque la gravedad no lo es). Un observador situado en un sistema inercial (como una nave en órbita) no experimenta aceleración alguna y es incapaz de discernir si está atravesando o no un campo gravitatorio. Como consecuencia de ello, las leyes de la física se comportan como si no existiera curvatura gravitatoria alguna. De ahí que el principio de equivalencia también reciba el nombre de Invariancia Local de Lorentz: En los sistemas inerciales rigen los principios y axiomas de la Relatividad Especial.

El principio de equivalencia implica asimismo que los observadores situados en reposo sobre la superficie de la tierra no son sistemas inerciales (experimentan una aceleración de origen gravitatorio de unos 9.8 metros por segundo al cuadrado, es decir, sienten su peso).

**Ejemplos de sistemas inerciales según el Principio de Equivalencia**
Sistema	¿Es inercial? (Principio de Equivalencia)	¿Es inercial? (Mecánica newtoniana)
Cuerpo en caída libre	Sí	No
Cuerpo en reposo sobre la superficie terrestre	No	Sí
Planeta orbitando alrededor del sol	Sí	No
Nave precipitándose hacia la tierra	Sí	No
Cohete despegando desde una base de lanzamiento	No	No

En general, podría decirse que la mecánica clásica tiene en cuenta la aceleración medida por un observador en reposo respecto al campo gravitatorio (p.e. un astrónomo). Por el contrario, el Principio de Equivalencia toma en consideración la aceleración experimentada por un observador situado el sistema en cuestión: cualquier cuerpo que se mueva sin restricciones por un campo gravitatorio puede ser considerado como un sistema inercial. Es el caso de los planetas que orbitan en torno del Sol y de los satélites que orbitan alrededor de los primeros: los habitantes de la Tierra no llegan a percibir si nos estamos acercando o alejando del Sol, ni si nos encontramos en el afelio o en el perihelio, a pesar de las enormes diferencias de la gravedad solar.

La gravedad se convierte, en virtud del Principio de Equivalencia, en una fuerza aparente, como la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis: en estos dos últimos supuestos su aparición es debida a la elección de un marco de referencia acelerado (un observador situado en la superficie de una esfera en rotación). En el caso de la gravedad, únicamente percibimos la fuerza aparente gravitatoria cuando escogemos un sistema de referencia no inercial (en reposo sobre la superficie terrestre), pero no cuando nos situamos en otro que sí lo es (un cuerpo en caída libre).

Aunque el principio de equivalencia fue históricamente importante en el desarrollo de la teoría, no es un ingrediente necesario de una teoría de la gravedad, como prueba el hecho de que otras teorías métricas de la gravedad, como la teoría relativista de la gravitación prescindan del principio de equivalencia. Además conviene señalar que el principio de equivalencia no se cumple en presencia de campos electromagnéticos, por ejemplo una partícula cargada moviéndose a lo largo de una geodésica de un espacio-tiempo cualquiera en general emitirá radiación, a diferencia de una partícula cargada moviéndose a lo largo de una geodésica del espacio de Minkowski. Ese y otros hechos sugieren que el principio de equivalencia a pesar de su equivalencia histórica no es parte esencial de una teoría relativista de la gravitación.

Formulación y consideraciones generales

Artículo principal: Introducción matemática a la relatividad general

Matemáticamente, Einstein modelizó la geometría del espacio-tiempo por una variedad pseudoriemanniana y sus ecuaciones de campo establecen que la curvatura seccional de esta variedad en un punto está relacionada directamente con el tensor de energía en dicho punto.

Dicho tensor es una medida de la densidad de materia y energía. La curvatura le dice a la materia como moverse, y de forma recíproca la materia le dice al espacio como curvarse. La ecuación de campo posible no es única, habiendo posibilidad de otros modelos sin contradecir la observación. La relatividad general se distingue de otras teorías de la gravedad por la simplicidad de acoplamiento entre materia y curvatura, aunque todavía no se ha resuelto su unificación con la Mecánica cuántica y el reemplazo de la ecuación de campo con una ley adecuada a la cuántica. Pocos físicos dudan que una teoría así, una teoría del todo pondrá a la relatividad general en el límite apropiado, así como la relatividad general predice la ley de la gravedad en el límite no relativista.

La curvatura del espacio-tiempo

Artículo principal: Curvatura del espacio-tiempo

La aceptación del principio de equivalencia por Albert Einstein le llevó a un descubrimiento ulterior: La contracción o curvatura del tiempo como consecuencia de la presencia de un campo gravitatorio, que quedó expresado en su artículo de 1911 «Sobre la influencia de la gravedad en la propagación de la luz»^[1] .

Supongamos que un fotón emitido por una estrella cercana se aproxima a la Tierra. En virtud de la ley de conservación del tetramomentum la energía conservada del fotón permanece invariante. Por otro lado, el principio de equivalencia implica que un observador situado en el fotón (que es un sistema inercial, es decir, se halla en caída libre) no experimenta ninguno de los efectos originados por el campo gravitatorio terrestre. De ello se deduce que la energía conservada del fotón no se altera como consecuencia de la acción de la gravedad, y tampoco lo hace la frecuencia de la luz, ya que, según la conocida fórmula de la física cuántica, la energía de un fotón es igual a su frecuencia (v) multiplicada por la constante de Planck (h): E = hν.

En la imagen se reproduce el corrimiento gravitacional hacia el rojo de un fotón que escapa del campo gravitatorio solar y se dirige hacia la Tierra. En este caso, la onda electromagnética pierde progresivamente energía y su frecuencia disminuye conforme aumenta la distancia al Sol.

Ahora bien, si las observaciones las realizara un astrónomo situado en la superficie de la Tierra, esto es, en reposo respecto su campo gravitatorio, los resultados serían muy diferentes: El astronomo podría comprobar cómo el fotón, por efecto de su caída hacia la Tierra, va absorbiendo progresivamente energía potencial gravitatoria y, como consecuencia de esto último, su frecuencia se corre hacia el azul^[2] . Los fenómenos de absorción de energía por los fotones en caída libre y corrimiento hacia el azul se expresan matemáticamente mediante las siguientes ecuaciones:

$\ E_{obs}=E_{con} e^{-\Phi}$

$\ h \nu_{rec}=h \nu_{em} e^{-\Phi}$

ν r e c = ν e m e - Φ

Donde $\ E_{obs}$ es la energía medida por un observador en reposo respecto al campo gravitatorio (en este caso un astrónomo), $\ \Phi$ el potencial gravitatorio de la región donde se encuentra éste, $\ E_{con}$ la energía conservada del fotón, $ν e m$ la frecuencia de emisión, $ν r e c$ es la frecuencia percibida por el observador (y corrida hacia el azul) y $\ h$ la constante de Planck.

Ahora bien, en el párrafo anterior hemos demostrado que la energía conservada del fotón permanece invariante. Por tanto, ¿cómo es posible que exista esta divergencia entre los resultados de la medición de la energía obtenidos por el astrónomo ( $E o b s$ ) y la energía conservada del fotón ( $E c o n$ )? La única manera de resolver esta contradicción es considerando que el tiempo se ralentiza como consecuencia de la presencia de un campo gravitatorio. De este modo, la citada ecuación

$\ \nu_{rec}=\nu_{em} e^{-\Phi}$

puede escribirse de este modo:

$\ \frac{\mbox{ciclos}}{dt_{obs}}=\frac{\mbox{ciclos}}{dt_{em}} e^{-\Phi}$

Es decir, la frecuencia es igual al número de ciclos que tienen lugar en un determinado periodo de tiempo (generalmente, un segundo). Donde $d t e m$ es el tiempo medido por un observador situado a una distancia infinita del cuerpo masivo (y por lo tanto no experimenta la atracción gravitatoria de éste), mientras que $d t o b s$ es el tiempo medido por un observador bajo la influencia del campo gravitatorio y en reposo respecto a este (como, por ejemplo, una persona situada sobre la superficie terrestre. De ahí se deduce que cerca de un cuerpo masivo el tiempo se ralentiza, siguiendo estas reglas matemáticas:

$\ dt_{em} = dt_{obs} e^{-\Phi}$

$\ dt_{obs} = dt_{em} e^{\Phi}$

En una singularidad espacio-temporal (como las que existen en el interior de los agujeros negros), la densidad de masa-materia y el campo gravitatorio tienden al infinito, lo que provoca la congelación del tiempo y por lo tanto la eliminación de todo tipo de procesos dinámicos:

$\lim_{r\to 0} dt_{obs}= dt_{em} e^{-\infty} \to \lim_{r\to 0} dt_{obs}= 0$

En la imagen, dos partículas en reposo relativo, en un espacio-tiempo llano.

Se representan en este esquema dos partículas que se acercan entre sí siguiendo un movimiento acelerado. La interpretación newtoniana supone que el espacio-tiempo es llano y que lo que provoca la curvatura de las líneas de universo es la fuerza de interacción gravitatoria entre ambas partículas. Por el contrario, la interpretación einsteiniana supone que las líneas de universo de estas partículas son geodésicas («rectas»), y que es la propia curvatura del espacio tiempo lo provoca su aproximación progresiva.

La contracción del tiempo debido a la presencia de un campo gravitatorio fue confirmado experimentalmente en el año 1959 por el experimento Pound-Rebka-Snider, llevado a cabo en la universidad de Harvard. Se colocaron detectores electromagnéticos a una cierta altura y se procedió a emitir radiación desde el suelo. Todas las mediciones que se realizaron confirmaron que los fotones habían experimentado un corrimiento hacia el rojo durante su ascenso a través del campo gravitatorio terrestre.

Hoy en día, el fenómeno de la contracción del tiempo tiene cierta importancia en el marco del servicio localizador GPS, cuyas exigencias de exactitud requieren de una precisión extrema: Basta con que se produzca un retraso de 0.04 microsegundos en la señal para que se produzca un error de posicionamiento de unos 10 metros. De ahí que las ecuaciones de Einstein hayan de ser tenidas en cuenta al calcular la situación exacta de un determinado objeto sobre la superficie terrestre.

Desde un punto de vista teórico, el artículo de Einstein de 1911 tuvo una importancia aún mayor. Pues, la contracción del tiempo conllevaba también, en virtud de los principios de la Relatividad Especial, la contracción del espacio. De ahí que fuera inevitable a partir de este momento descartar la existencia de un espacio-tiempo llano, y fuera necesario asumir la curvatura de la variedad espacio-temporal como consecuencia de la presencia de masas.

En la relatividad general, fenómenos que la mecánica clásica atribuye a la acción de la fuerza de gravedad, tales como una caída libre, la órbita de un planeta o la trayectoria de una nave espacial, son interpretados como efectos geométricos del movimiento en un espacio-tiempo curvado. De hecho una partícula libre en un campo gravitatorio sigue líneas de curvatura mínima a través de este espacio tiempo-curvado.

Finalmente, podemos hacer referencia a la desviación de los rayos de la luz como consecuencia de la presencia de un cuerpo masivo, fenómeno que da lugar a efectos ópticos como las lentes gravitacionales o los anillos de Einstein.

Frente de onda desviado. Lente gravitacional. Experimento de Eddington.

Los diferentes tensores y escalares de la Relatividad General

La derivada covariante

Uno de los conceptos esenciales sobre el que gira toda la Teoría de la Relatividad General es el de derivada covariante (también llamada conexión afín), que fue definida por primera vez por el matemático italiano Tullio Levi-Civita y que puede ser considerada tanto desde una perspectiva física como desde otra matemática.

Los cuerpos en caída libre (como las naves en órbita) son sistemas inerciales en los que la derivada covariante de su velocidad es nula ( $\nabla_{\vec u} u^r = 0$ ). Por ello, no experimentan ningún tipo de aceleración inercial provocada por la «fuerza gravitatoria». Sin embargo, un observador externo, como un astrónomo situado en la Tierra, puede observar cómo dicho cuerpo en caída libre se aproxima a la Tierra con una aceleración creciente (de ahí que la derivada ordinaria de la velocidad en este caso sea diferente a cero – $\frac{d v^r}{dt} \not= 0$ -)

Dice la leyenda apócrifa que fue la manzana de un árbol la que provocó que Newton se diera cuenta que los objetos caen y por lo tanto aceleran como consecuencia de la gravitación universal. Y es que los objetos en reposo sobre la superficie terrestre experimentan, como consecuencia de la fuerza aparente gravitatoria, una aceleración inercial de

9,8 m / s 2

(y por lo tanto la derivada covariante de su velocidad también tiene ese valor $\nabla_{\vec u} u^r = 9,8$ ^[3] ). Sin embargo, dichos objetos, puesto que están en reposo, tienen una aceleración relativa nula respecto a un observador terrestre (es decir, la derivada ordinaria de su velocidad es cero ( $\frac{d v^r}{dt} = 0$ )

Desde un punto de vista físico, la derivada ordinaria de la velocidad $\left(\frac{d \vec v}{dt}\right)$ es la aceleración de un cuerpo medida por un observador externo en reposo respecto a un campo gravitatorio (por ejemplo, un astrónomo situado sobre la superficie terrestre). En este caso el observador se mantiene a una distancia r constante del centro de masas, pero no así el objeto observado, que progresivamente se va aproximando al origen del campo gravitatorio.

Por el contrario, la derivada covariante de la velocidad $\left(\frac{D \vec u}{d\tau}\right)$ ó $\nabla_{\vec u} \vec u$ ^[4] ) es la aceleración medida por un observador comóvil, es decir, que está en reposo respecto al cuerpo en caída libre (por ejemplo, el piloto de un avión en caída libre o los tripulantes de una nave espacial con sus motores apagados).

En resumidas cuentas, la derivada ordinaria se utiliza para computar la aceleración ordinaria de un cuerpo, mientras que la derivada covariante es empleada para calcular su aceleración inercial. Según la mecánica galileana y newtoniana estos dos tipos de aceleración son idénticos, y en base a este axioma se desarrollaron nuevos principios mecánicos como el Principio de d’Alembert. Sin embargo, del principio de equivalencia de Einstein se deduce que cuando un cuerpo está sometido a un campo gravitatorio, su aceleración ordinaria cambia, pero no su aceleración inercial. De ahí que para Einstein fuera absolutamente necesario introducir en su teoría el concepto de derivada covariante.

Desde un punto de vista estrictamente matemático, el cálculo de la derivada covariante tiene lugar a través de un sencillo procedimiento. Se procede en primer lugar al cómputo de la derivada parcial covariante y luego se generaliza ésta.

La derivada ordinaria se aplica exclusivamente sobre los componentes de un vector, mientras que la derivada covariante se aplica también sobre las bases del espacio vectorial:

$\nabla_\beta \vec u = \partial_\beta (u^\alpha \vec e_\alpha)$

Sobre esta ecuación procedemos a aplicar la regla del producto (o de Leibniz),

$\nabla_\beta \vec u = (\partial_\beta u^a) \vec e_\alpha + u^\alpha (\partial_\beta \vec e_\alpha)$

Llegados a este punto introducimos una nueva notación, los símbolos de Christoffel, que pueden ser definidos como el componente $\ \mu$ de la derivada parcial de $\ e_\alpha$ respecto a $\ \beta$ : $\partial_\beta \vec e_\alpha = \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \vec e_\mu$ . De este modo:

$\nabla_\beta \vec u = (\partial_\beta u^a) \vec e_\alpha + u^\alpha \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \vec e_\mu$

Realizamos un intercambio de índices ( $\ \mu$ por $\ \alpha$ ) en el último término del segundo miembro de la ecuación:

$\nabla_\beta \vec u = (\partial_\beta u^a) \vec e_\alpha + \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu \vec e_\alpha$

Y obtenemos con ello los componentes de la derivada parcial covariante de la velocidad, que equivalen a la expresión entre paréntesis:

$\nabla_\beta \vec u = (\partial_\beta u^a + \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu) \vec e_\alpha$

$\nabla_\beta u^a = \partial_\beta u^a + \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu$

Generalizamos dichos componentes multiplicándolos por el componente $\ \beta$ de la tetravelocidad ( $\ u^\beta = \frac{du}{d \tau}$ ) y obtenemos con ello la derivada covariante de la velocidad:

$\frac{dx^\beta}{d \tau}\nabla_\beta u^a = \partial_\beta u^a \frac{dx^\beta}{d \tau} + \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu \frac{dx^\beta}{d \tau}$

$\nabla_\vec u u^a = \frac{du^\alpha}{d \tau} + \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu u^\beta$

Puesto que para un observador inercial (p.e. un cuerpo en caída libre) $\nabla_\vec u u^a = 0$ , esta última ecuación toma la siguiente forma:

$0 = \frac{du^\alpha}{d \tau} + \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu u^\beta$

$\frac{du^\alpha}{d \tau} = - \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu u^\beta$

Estas fórmulas reciben el nombre de ecuación de las líneas geodésicas, y se utilizan para calcular la aceleración gravitatoria de cualquier cuerpo.

Con ayuda de la ecuación de las líneas geodésicas podemos determinar la aceleración radial y angular de la Tierra respecto al Sol. Puesto que la curvatura gravitatoria los valores de los símbolos de Christoffel aumentan conforme nos acercamos al Sol, de ello se deduce que la aceleración de la Tierra es máxima en las proximidades del perihelio, exactamente tal y como predicen las leyes de Newton^[5] y Kepler^[6] .

A los lectores principiantes puede chocarles la propia definición de los símbolos de Christoffel. A fin de cuentas, en el espacio euclideo, la derivada de una base (por ejemplo $e x$ ) respecto a otra cordenada (pongamos $y$ ) es siempre cero, por la simple razón de que las bases de ambas coordenadas son ortogonales. Sin embargo, esto no sucede así en las variedades curvas, como por ejemplo las superficies de un cilindro o de una esfera: En tales casos, los símbolos de Christoffel no son iguales a cero, sino que son funciones de las derivadas del tensor métrico. La relación matemática entre estas dos magnitudes matemáticas se expresa mediante la siguiente ecuación:

$\ \Gamma^\alpha_{\beta\mu} = \frac{1}{2} g^{\alpha\sigma} (\partial_\mu g_{\sigma\beta} + \partial_\beta g_{\sigma\mu} - \partial_\sigma g_{\beta\mu})$

Los símbolos de Christoffel constituyen un verdadero parámetro para determinar cuál es el grado de curvatura existente en una región determinada y con su ayuda podemos determinar cuál va a ser la trayectoria de una geodésica en un espacio curvo. En el caso de la variedad espacio-temporal, la Teoría de la Relatividad afirma que su curvatura viene originada por la presencia de masas y el potencial gravitatorio, y por ello, cuanta mayor sea la densidad de materia existente en una determinada región, mayores serán los valores de los símbolos de Christoffel.

Los principios de general covariancia y acoplamiento mínimo

Artículo principal: Principio de acoplamiento mínimo

En un espacio-tiempo curvo, las leyes de la física se modifican mediante el Principio de acoplamiento mínimo, que supone que las ecuaciones matemáticas en cuya virtud se expresan aquellas experimentan las siguientes modificaciones:

La derivada ordinaria es sustituida por la derivada covariante.
La métrica de Minkowski es sustituida por una formulación general del tensor métrico.

$\eta _{\mu \nu} \longrightarrow g_{\mu \nu}\left ( x \right )$

$\partial_\mu \longrightarrow \nabla_\mu \left ( x \right )$

De este modo, la ecuación galileana de los sistemas inerciales se transforma en virtud de dicho principio en la ecuación relativista de las líneas geodésicas:

$\partial_\beta u^\alpha = 0 \to \nabla_\beta u^\alpha = 0$

Ley de conservación de la energía:

$\partial_\alpha T_{\alpha\beta} = 0 \to \nabla_\alpha T_{\alpha\beta} = 0$

Sin embargo, en virtud del principio de simetría de los símbolos de Christoffel, las leyes electromagnéticas en general no experimentan modificaciones debidas a la curvatura gravitatoria:

$F_{\alpha \beta} = \partial_\alpha A^\beta - \partial_\beta A^\alpha$

$F_{\alpha \beta} = \nabla_\alpha A^\beta - \nabla_\beta A^\alpha$

$F_{\alpha \beta} = \partial_\alpha A^\beta + \Gamma^\mu_{\beta\alpha}A^\beta -\partial_\beta A^\alpha - \Gamma^\mu_{\alpha\beta}A^\alpha$

$\Gamma^\alpha_{\mu\beta} = \Gamma^\beta_{\mu\alpha}$

**Alteración de las leyes físicas producida por la curvatura**
Objeto o ley físico-matemática	Espacio-tiempo llano	Espacio-tiempo curvo	¿Se produce alteración por la curvatura?
Ley de conservación de la energía	$\partial_\alpha T_{\alpha\beta} = 0$	$\nabla_\alpha T_{\alpha\beta} = 0$	Sí
Tensor electromagnético	$F_{ij} = \partial_i A_j - \partial_j A_i$	$F_{ij} = \nabla_i A_j - \nabla_j A_i = \partial_i A_j - \partial_j A_i$	No
Ecuaciones de Maxwell			No
Velocidad de la luz	$\ c$	$\ c$	No
Ecuación de un sistema inercial	$\frac{du_\alpha}{dt} = 0$	$\nabla_\vec u \vec u = \frac{du_\alpha}{dt} + \Gamma^\alpha_{\beta\nu}u_\beta u_\mu= 0$	Sí
Aceleración			Sí
Volumen			Sí

Ecuación líneas geodésicas

El tensor de Riemann y la curvatura de las líneas de universo

$R^{\alpha}_{\mu\nu\beta} = <\omega^\alpha, [\nabla_{\mu} , \nabla_{\nu}] e_\beta>$

$R^{\alpha}_{\mu\nu\beta} = <\omega^\alpha, \nabla_{\mu}\nabla_{\nu}e_\beta - \nabla_{\nu}\nabla_{\mu}e_\beta>$

$R^{\alpha}_{\mu\nu\beta} = <\omega^\alpha, \nabla_{\mu}(\Gamma^\sigma_{\beta\nu}e_\sigma) - \nabla_{\nu}(\Gamma^\rho_{\beta\mu}e_\rho)>$

$R^{\alpha}_{\mu\nu\beta} = <\omega^\alpha, (\Gamma^\sigma_{\beta\nu ,\mu}e_\sigma + \Gamma^\sigma_{\beta\nu}\Gamma^\gamma_{\sigma\mu}e_\gamma) - (\Gamma^\rho_{\beta\mu ,\nu}e_\rho + \Gamma^\rho_{\beta\mu}\Gamma^\lambda_{\rho\nu}e_\lambda)>$

$R^{\alpha}_{\mu\nu\beta} = \Gamma^\sigma_{\beta\nu ,\mu}<\omega^\alpha ,e_\sigma> + \Gamma^\sigma_{\beta\nu}\Gamma^\gamma_{\sigma\mu}<\omega^\alpha ,e_\gamma> - \Gamma^\rho_{\beta\mu ,\nu}<\omega^\alpha, e_\rho> - \Gamma^\rho_{\beta\mu}\Gamma^\lambda_{\rho\nu}<\omega^\alpha ,e_\lambda>$

$R^{\alpha}_{\mu\nu\beta} = \Gamma^\sigma_{\beta\nu ,\mu}\delta^\alpha_\sigma + \Gamma^\sigma_{\beta\nu}\Gamma^\gamma_{\sigma\mu}\delta^\alpha_\gamma - \Gamma^\rho_{\beta\mu ,\nu}\delta^\alpha_\rho - \Gamma^\rho_{\beta\mu}\Gamma^\lambda_{\rho\nu}\delta^\alpha_\lambda$

$R^{\alpha}_{\mu\nu\beta} = \Gamma^\alpha_{\beta\nu ,\mu} + \Gamma^\sigma_{\beta\nu}\Gamma^\alpha_{\sigma\mu}- \Gamma^\alpha_{\beta\mu ,\nu} - \Gamma^\rho_{\beta\mu}\Gamma^\alpha_{\rho\nu}$

$R^{\alpha}_{\mu\nu\beta} = \Gamma^\alpha_{\beta\nu ,\mu} - \Gamma^\alpha_{\beta\mu ,\nu} + \Gamma^\sigma_{\beta\nu}\Gamma^\alpha_{\sigma\mu} - \Gamma^\rho_{\beta\mu}\Gamma^\alpha_{\rho\nu}$

Como es sabido la relatividad general explica los campos gravitatorios como un efecto geométrico de la curvatura del espacio-tiempo. Eso significa que el espacio-tiempo en el que vivimos no es plano, y por tanto el tensor de curvatura del mismo es diferente de cero. En teoría de la relatividad general la curvatura queda completamente caracterizada por el tensor de Riemann asociado al tensor métrico que sirve para medir las distancias, ángulos, superificies y volúmenes. La relación entre las componentes coordenadas del tensor de curvatura de Riemann y los símbolos de Christoffel directamente calculables a partir del tensor métrico es:

$R^{\alpha}_{\beta\mu\nu} = \frac{\part \Gamma^{\alpha}_{\beta\nu}}{\part x^\mu} - \frac{\part \Gamma^{\alpha}_{\beta\mu}}{\part x^\nu} + \Gamma^{\alpha}_{\sigma\mu} \Gamma^{\sigma}_{\beta\nu} - \Gamma^{\alpha}_{\sigma\nu} \Gamma^{\sigma}_{\beta\mu}$

Como puede verse esta expresión depende de manera no lineal tanto de los símbolos de Christoffel como de la métrica asociada. Esto tiene importantes consecuencias, entre otras que las ecuaciones básicas de la relatividad general no sean lineales y por tanto sea difícil encontrar soluciones exactas de las mismas, a diferencia de lo que sucede por ejemplo con las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético.

Supongamos que:

$\ g_{\alpha\beta ,\nu} = 0$

$\Gamma^{\alpha}_{\beta\mu} = 0$

Pero:

$\ g_{\alpha\beta ,\nu\sigma} \not = 0$

$\Gamma^{\alpha}_{\beta\mu ,\nu} \not = 0$

Entonces:

$R^{\alpha}_{\beta\mu\nu} = \Gamma^{\alpha}_{\beta\nu ,\mu} + \Gamma^{\alpha}_{\beta\mu ,\nu}$

$\nabla_{\vec u} \nabla_{\vec u} \xi^\alpha = R^{\alpha}_{\beta\mu\nu}u^{\mu}u^{\nu}\xi^{\beta}$

$[\nabla_{\mu} , \nabla_{\nu} ] u^\alpha = R^{\alpha}_{\beta\mu\nu}u^{\beta}$

Bien:

$\nabla_\beta \vec u = \partial_\beta u^\alpha + \Gamma^\alpha_{\sigma\beta} u^\sigma$

Transporte paralelo:

$0 = \partial_\beta u^\alpha + \Gamma^\alpha_{\sigma\beta} u^\sigma$

$\partial_\beta u^\alpha = -\Gamma^\alpha_{\sigma\beta} u^\sigma$

$\delta u^\alpha = \oint_C -\Gamma^\alpha_{\sigma\beta} u^\sigma dx_\beta$

$\delta u^\alpha = \int_S [\nabla \times (-\Gamma^\alpha_{\sigma\beta} u^\sigma)]^\alpha dS_\alpha$

$\delta u^\alpha = \int_S [\epsilon_{\alpha\gamma\lambda}\nabla_\gamma (-\Gamma^\alpha_{\sigma\beta} u^\sigma)_\lambda] \epsilon_{\alpha\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$

$\delta u^\alpha = \int_S [\epsilon_{\alpha\gamma\lambda} \epsilon_{\alpha\mu\nu} \nabla_\gamma (-\Gamma^\alpha_{\sigma\beta} u^\sigma)_\lambda] dx^\mu dx^\nu$

$\delta u^\alpha = \int_S (\delta^\gamma_\mu \delta^\lambda_\nu -\delta^\lambda_\nu \delta^\gamma_\mu) [\nabla_\gamma (-\Gamma^\alpha_{\sigma\beta} u^\sigma)_\lambda] dx^\mu dx^\nu$

$\delta u^\alpha = \int_S [\nabla_\mu (-\Gamma^\alpha_{\sigma\beta} u^\sigma)_\nu - \nabla_\nu (-\Gamma^\alpha_{\sigma\beta} u^\sigma)_\mu] dx^\mu dx^\nu$

$\delta u^\alpha = \int_S [\partial_\mu (-\Gamma^\nu_{\sigma\beta} u^\sigma) - \partial_\nu (-\Gamma^\mu_{\sigma\beta} u^\sigma)] dx^\mu dx^\nu$

Regla del producto de Leibniz:

$\delta u^\alpha = \int_S [-u^\sigma \partial_\mu \Gamma^\nu_{\sigma\beta} - \Gamma^\nu_{\sigma\beta} \partial_\mu u^\sigma + u^\sigma \partial_\nu \Gamma^\mu_{\sigma\beta} + \Gamma^\mu_{\sigma\beta} \partial_\nu u^\sigma] dx^\mu dx^\nu$

$\partial_\beta u^\alpha = -\Gamma^\alpha_{\sigma\beta} u^\sigma$

${R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}$

El significado físico del tensor de Ricci

Según la teoría de la gravitación universal, una masa esférica de gas reduce su volumen (como consecuencia de la atracción recíproca de sus moléculas) con una aceleración equivalente a $4G\pi \rho\;$ :

$\Delta V =4\pi G \rho\;$

En la ilustración se reproducen los efectos del tensor de Ricci (concretamente su componente $R 00$ sobre un volumen tridimensional esférico: conforme aumenta el tiempo, dicho volumen se reduce. Él autor de la imagen se ha permitido la siguiente licencia: Aunque los ejes de coordenadas representan dos dimensiones espaciales y una temporal, el volumen de la esfera está definido por tres dimensiones espaciales.

Es evidente, que dicha ecuación no es compatible con la relatividad especial, por las razones reseñadas anteriormente: 1) El parámetro $ρ$ , que mide la densidad de masa, ha de ser sustituido por el tensor de energía-tensión $\ T^{\alpha \beta}$ , que permanece invariable ante las transformaciones de Lorentz y tiene en cuenta los efectos gravitatorios de la energía y la presión, y no sólo los de la masa. 2) Por otro lado, según la teoría de la Relatividad General, los efectos gravitatorios no son causados por ningún tipo de «fuerza misteriosa» sino por la curvatura del espacio-tiempo.

En este sentido, en un espacio-tiempo curvo, la aceleración del volumen viene cuantificada por un objeto geométrico específico, el tensor de Ricci $\ R^{\alpha \beta}$ , que puede definirse como la aceleración respecto a $\ dx^\alpha$ del hipervolumen $\ d\Pi_\beta$ , normal al vector unitario $\ e_\beta$ . De este modo, el componente $R 00$ expresa la aceleración temporal del volumen tridimensional:

$\ R^{00} = \frac{d^2 \Pi_0}{(dx^0)^2} \to R^{00} = \delta^2 V$

Los tensores de energía-momentum y de Ricci permitían expresar de manera tensorial la fórmula de Poisson, y de ahí que originalmente Einstein propusiera las siguientes ecuaciones de universo:

$\ R^{\alpha\beta} = 4G\pi T^{\alpha\beta}$

Imagen de las Pléyades, cúmulo estelar situado en la constelación de Tauro, compuesto de siete cuerpos astronómicos principales. Las estrellas que lo componen surgieron hace unos 100 millones de años en el seno de una enorme nube molecular. En determinados lugares de dicha nube, la densidad $ρ$ fue lo suficientemente intensa como para que el tensor de Ricci $\ R^{\alpha\beta}$ venciera los efectos de la presión del gas e iniciara la compresión de éste. El resultado fue el nacimiento de las hermosas Siete Hermanas.

En Relatividad General, el tensor de Ricci tiene la particularidad de representar aquellos efectos gravitatorios que desaparecen cuando el cuerpo está en caída libre. Es decir, todos menos las fuerzas de marea, que son regidas por el tensor de Weyl, como veremos más abajo.

El tensor de Ricci rige, pues, la mayor parte de los procesos astrofísicos que tienen lugar a amplias escalas: constituye una medida de la contracción de nubes moleculares que dan lugar al nacimiento de estrellas y planetas; cuantifica el colapso de las grandes cuerpos estelares y su conversión en enanas blancas, estrellas de neutrones y agujeros negros; y proporciona una medida de la expansión del universo.

Del tensor de Ricci, particularmente de la forma en que aparece en los campos gravitatorios esféricos (como las estrellas estáticas)^[7] , se deriva la llamada Ley de equilibrio hidrostático, que regula el equilibrio entre la presión del fluido estelar^[8] (que tiende a expandir el volumen de la estrella) y la curvatura gravitatoria (que lo contrae). Este equilibrio se mantiene durante prácticamente toda la vida de la estrella, y sólo se rompe en dos ocasiones diferentes: 1) Cuando la estrella se transforma en una gigante roja, en cuyo caso los efectos de la presión de radiación^[9] desbordan los del tensor de Ricci. Como resultado, el volumen de la estrella se expande hasta alcanzar una nueva situación de equilibrio. 2) Cuando la estrella agota su combustible, desciende la presión del fluido, y la estrella, bien se transforma en una enana blanca, en una estrella de neutrones, o bien colapsa definitivamente convirtiéndose en un agujero negro.

La aceleración del volumen producida por un campo gravitatorio newtoniano
Reinterpretación de acuerdo con la relatividad general —> la reducción de volumen es causada por el tensor de Ricci
La enorme influencia del tensor de Ricci en el desarrollo del universo: Formación de estrellas, tensor de Ricci como contrapeso de la presión (equilibrio hidrostático), posible Big Crunch si y contracción del cosmos si existe suficiente masa en el universo.
Cálculo del tensor de Ricci a partir de las ecuaciones de universo de Einstein.
En la rama de las 3-variedades se encuentra en las ecuación de flujo de Ricci que permite demostrar la conjetura de Poincaré, entendiendo que los espacios tridimensionales son parte de las posibilidades físicas de los 3-espacios.

Las ecuaciones de Universo de Einstein

Corriente de chorro emanando del centro de una galaxia

Einstein tuvo pronto que modificar ligeramente sus ecuaciones de universo, pues estas no eran compatibles con la ley de la conservación de la energía. En efecto, la derivada covariante del tensor de energía momentum de cualquier fluido es cero:

$\ \nabla_\beta T^{\alpha \beta} = 0$

Sin embargo, de las identidades de Bianchi se deduce que la derivada covariante del tensor de Ricci es diferente a cero:

$R^{\alpha}_{\beta ( \mu \nu \sigma )} = 0 \to R^{\alpha}_{\beta \mu \nu , \sigma} + R^{\alpha}_{\beta \sigma \mu , \nu} + R^{\alpha}_{\beta \nu \sigma , \mu} = 0$

$\ \nabla_\beta (R^{\alpha \beta} - \frac{1}{2} g^{\alpha \beta}R) = 0 \to \nabla_\beta R^{\alpha \beta} \not = 0$

Lo que conduce al descarte de cualquier tipo de relación de proporcionalidad entre el tensor de Ricci y el tensor de tensión energía:

$R^{\alpha \beta} \not = kT^{\alpha \beta}$

Todo esto constriñó a Einstein a modificar sus ecuaciones de Universo, que adquirieron su forma definitiva tras la publicación en 1915 del artículo «Aplicación de la Teoría de la Relatividad General al campo gravitatorio»^[10] :

$\ R^{\alpha \beta} - \frac{1}{2}g^{\alpha \beta}R = k T^{\alpha \beta}$

$\ k = 8\pi G$

Donde $R αβ$ es el tensor de Ricci, $g αβ$ el tensor métrico, $R$ el escalar de Ricci, $k$ la constante de Einstein, $G$ la constante de gravitación universal y $T αβ$ el tensor de tensión-energía. El miembro izquierdo de la ecuación recibe el nombre genérico de tensor de Einstein, se representa con la notación $G αβ$ y satisface las mismas relaciones de conservación que el tensor de tensión-energía:

$\ \nabla_{\beta}G^{\alpha \beta} = \nabla_{\beta} (R_{\alpha \beta} - \frac{1}{2}g_{\alpha \beta}R) = 0$

$\ G^{\alpha \beta} = kT^{\alpha \beta}$

Teniendo en cuenta que el escalar de curvatura $R$ es igual a la traza del tensor de Einstein $G$ , las ecuaciones de universo de Einstein pueden reformularse de la manera siguiente:

$\ R = G \to R = kT$

$\ R_{\alpha \beta} = k (T_{\alpha \beta} - \frac{1}{2}g_{\alpha \beta}T)$

En un fluido no relativista^[11] , como una nebulosa o una estrella de la secuencia principal, todos los componentes del tensor de energía-impulso son nulos o de muy poca importancia, salvo el elemento $T 00$ , que corresponde a la densidad de masa y que es el único que contribuye sensiblemente a la atracción gravitatoria y a la curvatura del espacio-tiempo. Si deseamos medir la contracción de volumen producida por la masa-energía presente en una determinada región, hemos de aplicar las ecuaciones de universo de Einstein:

$\ R_{00} = k (T_{00} - \frac{1}{2} g_{00}T)$

Si el observador está situado en reposo respecto al fluido en cuestión, podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por dos vectores temporales de coordenadas $(1,0,0,0)$ :

$\ R_{00}dx^0dx^0 = k (T_{00} - \frac{1}{2} g_{00}T)dx^0dx^0$

Tras ello obtenemos:

$\ \delta^2 V = k (\rho - \frac{\rho c^2 - p^i}{2c^2})$

$\ \delta^2 V = 4\pi G (\rho - \frac{p^i}{c^2})$

Que es una ligera corrección de la anteriormente citada fórmula newtoniana. Como vemos, la atracción gravitatoria viene determinada no sólo por la masa-energía sino también por la presión, aunque la contribución de ésta es $c 2$ inferior a la de la primera. Por eso, en las regiones del espacio-tiempo sometidas a bajas presiones y temperaturas, como las nebulosas o nuestro Sistema Solar, la masa es prácticamente la única fuente de atracción gravitatoria y por ello las ecuaciones de la gravitación universal newtonianas constituyen una muy buena aproximación de la realidad física. En cambio, en fluidos sometidos a altas presiones, como las estrellas que se colapsan, la materia que se precipita en los agujeros negros o los chorros que son expelidos de los centros de las galaxias; en todos ellos la presión puede tener cierta importancia a la hora de computar la atracción gravitatoria y la curvatura del espacio-tiempo.

$\ T=g_{\alpha\beta}T^{\alpha\beta}= \rho c^2 - p^i$

Cuando se trata de una partícula sin masa, el término extra $- \frac{1}{2}g_{\alpha \beta}T$ queda cancelado, y como consecuencia de ello la suma de los coeficientes del tensor $\ R_{\alpha\beta}$ es dos veces superior que en el caso de las partículas en reposo. Ello da lugar a fenómenos astronómicos como las lentes gravitacionales(en la imagen) y los anillos de Einstein, que se forman debido a la curvatura extra que actúa sobre la trayectoria de los rayos de la luz.

Sin embargo, si aplicamos las ecuaciones de universo de Einstein a sistemas que viajan a la velocidad de la luz, como los fotones u otras partículas sin masa, la solución es bien distinta. Si multiplicamos de nuevo las ecuaciones de universo de Einstein por el vector de posición de los fotones respecto a un observador situado en el fluido estelar obtenemos lo siguiente:

$\ R_{\alpha \beta}dx^\alpha dx^\beta = k (T_{\alpha \beta} - \frac{1}{2}g_{\alpha \beta}T)dx^\alpha dx^\beta$

Tras la multiplicación del tensor métrico por el vector de posición de la partícula, obtenemos su intervalo. Como se trata de una partícula que viaja a la velocidad de la luz, su intervalo es nulo, lo que conduce a la cancelación del segundo término del lado derecho de la ecuación:

$\ ds^2 = g_{\alpha\beta}dx^\alpha dx^\beta$

$\ R_{\alpha \beta}dx^\alpha dx^\beta = k (T_{\alpha \beta}dx^\alpha dx^\beta - \frac{1}{2}ds^2 T)$

$\ ds^2 = 0$

$\ R_{\alpha \beta}dx^\alpha dx^\beta = kT_{\alpha \beta}dx^\alpha dx^\beta$

$\ R_{\alpha \beta} = kT_{\alpha \beta}$

**Resultados de las ecuaciones de Universo de Einstein**
Partículas en reposo $d s 2 = 1$	Partículas a velocidad de la luz $d s 2 = 0$
$\ R_{\alpha \beta} = k (T_{\alpha \beta} - \frac{T}{2})$	$\ R_{\alpha \beta} = kT_{\alpha \beta}$

$\ R_{\alpha \beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha \beta} = k T_{\alpha \beta}$

Las ecuaciones de campo son las siguientes:

$R_{ik} - \frac{g_{ik} R}{2} + \Lambda g_{ik} = \frac{8\pi G} {c^4}T_{ik}$
Las mismas se pueden deducir de la acción de Einstein-Hilbert (sin constante cosmológica):

$S = \int \left[ \frac{c^4}{16 \pi G} \, R + L_\mathrm{M} \right] \sqrt{-g} \, d^4x$

donde R_{ik} es el tensor de curvatura de Ricci, R es el escalar de curvatura de Ricci, g_{ik} es el tensor métrico, Λ es la constante cosmológica, T_{ik} es el tensor de energía, c es la velocidad de la luz, G es la constante gravitatoria universal y g es el determinante de la métrica, de forma similar a lo que ocurre en la gravedad newtoniana. g_{ik} describe la métrica de la variedad y es un tensor simétrico 4 x 4, por lo que tiene 10 componentes independientes. Dada la libertad de elección de las cuatro coordenadas espaciotemporales, las ecuaciones independientes se reducen a seis.

Esquema de la curvatura del espacio-tiempo alrededor de una masa.

La ecuación de campo de Einstein contiene un parámetro llamado constante cosmológica Λ que, según algunos autores, fue originalmente introducida por Einstein para permitir un universo estático. Este esfuerzo no tuvo éxito por dos razones: la inestabilidad del universo resultante de tales esfuerzos teóricos, y las observaciones realizadas por Hubble una década después confirman que nuestro universo es de hecho no estático sino en expansión. Así Λ fue abandonada, pero de forma bastante reciente, técnicas astronómicas encontraron que un valor diferente de cero para Λ es necesario para poder explicar algunas observaciones. Otros autores consideran que la introducción de la constante cosmológica por parte de Einstein tiene que ver con su intento por resolver las paradojas de Mach.

El tensor de Weyl

Es importante notar que, puesto en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones, el tensor pleno de curvatura contiene más información que la curvatura de Ricci. Eso significa que las ecuaciones del de campo anteriores, con Λ = 0, no especifican completamente el tensor de curvatura sino una parte del mismo, el tensor de Ricci. La parte de la curvatura no especificada por las ecuaciones de Einstein, coincide precisamente con el tensor de Weyl.

La constante cosmológica

Véase también: Constante cosmológica y Inflación cósmica

Resumen

**Significado físico de los diferentes tensores de la Relatividad general**
Tensor	Notación	Significado físico
Derivada ordinaria	$\frac{du^\alpha}{d\tau}$	Aceleración medida por un observador externo en reposo
Derivada covariante	$\nabla_{\vec u} \vec u$	Aceleración inercial medida por un observador comóvil, situado en la propia línea de universo del cuerpo observado
Tensor métrico	$\ g_{\alpha\beta}$	Distancia (o, en su caso, intervalo) entre dos puntos (eventos) del espacio(-tiempo)
Tensor de tensión energía	$\ T_{\mu\nu}$	Presencia inmediata de cuadrimomento en una región del espacio-tiempo
Tensor de Riemann	${R^\alpha}_{\beta\mu\nu}$	Aceleración recíproca de dos líneas de universo
Tensor de Ricci	$\ R_{\mu\nu}$	Aceleración de un volumen (3 dimensiones) o un hipervolumen (4 dimensiones)
Escalar de Ricci	$\ R$	Aceleración de la superficie que encierra dicho volumen o hipervolumen
Tensor de Weyl	$\ C^\alpha_{\beta\mu\nu}$	Fuerzas de marea generadas por las ondas gravitatorias

**Principales ecuaciones de la Relatividad General**
Denominación	Desarrollo	Significado físico
Ecuaciones de universo de Einstein		Contracción de un fluido como consecuencia de la presencia inmediata de cuadrimomento
Ecuación de las líneas geodésicas		Movimiento de un sistema inercial en el espacio-tiempo
Desviación geodésica		Fuerzas de marea entre dos partículas que caen en un mismo campo gravitatorio

Soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein

Matemáticamente las ecuaciones de campo de Einstein son complicadas porque constituyen un sistema de 10 ecuaciones diferenciales no lineales independientes. La complejidad de dicho sistema de ecuaciones y las dificultades asociadas para plantear el problema como un problema de valor inicial bien definido, hicieron que durante mucho tiempo sólo se contara con un puñado de soluciones exactas caracterizadas por un alto grado de simetría. En la actualidad se conocen algunos centenares de soluciones exactas de las ecuaciones de Einstein.

Históricamente la primera solución importante fue obtenida por Karl Schwarzschild en 1915, esta solución conocida posteriormente como métrica de Schwarzschild, representa el campo creado por un astro estático y con simetría esférica. Dicha solución constituye una muy buena aproximación al campo gravitatorio dentro del sistema solar, lo cual permitió someter a confirmación experimental la teoría general de la relatividad explicándose hechos previamente no explicados como el avance del perihelio y prediciendo nuevos hechos más tarde observados como la deflexión de los rayos de luz de un campo gravitatorio. Además las peculiaridades de esta solución condujeron al descubrimiento teórico de la posibilidad de los agujeros negros, y se abrió todo una nueva área de la cosmología relacionada con ellos. Lamentablemente el estudio del colapso gravitatorio y los agujeros negros condujo a la predicción de las singularidades espaciotemporales, deficiencia que revela que la teoría de la relatividad general es incompleta.

Algunas otras soluciones físicamente interesantes de las ecuaciones de Einstein son:

La métrica de Kerr que describe el campo gravitatorio de un astro en rotación. Esta solución bajo ciertas circunstancias también contiene un agujero negro de Kerr.
La métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker, realmente es un conjunto paramétrico de soluciones asocaidas a la teoría del Big Bang que es capaz de explicar la estructura del universo a gran escala y la expansión del mismo.
El universo de Gödel, que en su forma original no parece describrir un universo realista o parecido al nuestro, pero cuyas propiedades matemáticamente interesante constituyeron un estímulo para buscar soluciones más generales de las ecuaciones para ver si ciertos fenómenos eran o no peculiares de las soluciones más sencillos.

Por otra parte, el espacio-tiempo empleado en la teoría especial de la relatividad, llamado espacio de Minkowski es en sí mismo una solución de las ecuaciones de Einstein, que representa un espacio-tiempo vacío totalmente de materia.

Fuera de las soluciones exactas y a efectos comparativos con la teoría de campo gravitatorio también es interesante la aproximación para campos gravitatorios débiles y las soluciones en formadas de ondas gravitatorias.

No linealidad

Cuando Einstein formuló en 1915 las ecuaciones de universo de la Relatividad general, el científico alemán pensó, en un principio, que dichas ecuaciones eran insolubles debido a su carácter no lineal, que se manifestaba tanto desde un punto de vista físico como desde otro matemático:

En el plano estrictamente físico, la no linealidad de las ecuaciones de campo de Einstein se deriva del mutuo condicionamiento entre el tetramomentum y la curvatura del espacio tiempo. Así, la densidad de masa, contenida en el coeficiente $\ T^{00}$ , provoca una contracción (parametrizada a través de $\ R^{00}$ ) del volumen tridimensional que de nuevo vuelve a alterar el densidad de masa, y así sucesivamente. Este movimiento cíclico recuerda a la autoinductancia el electromagnetismo y no suele tener importancia en campos gravitatorios de baja intensidad, pero sí ha de tenerse en cuenta en el cálculo de las perturbaciones gravitatorias originadas por una alta concentración local de tetramomentum, como sucede en el caso de los agujeros negros o los fluidos relativistas.

Desde un punto de vista matemático, el miembro izquierdo de la igualdad $R_{\alpha\beta} - \frac{1}{2}Rg_{\alpha\beta} = kT_{\alpha\beta}$ contiene tanto funciones lineales como derivadas de primer y de segundo orden del tensor métrico $\ g_{\alpha\beta}$ , lo que hace imposible despejar los coeficientes de este último a partir de los valores del tensor de energía momentum $\ T_{\alpha\beta}$ . No es posible, pues, construir una función de tipo $T_{\alpha\beta} \to g_{\alpha\beta}$ .

Soluciones para coordenadas esféricas: $θ,φ, r, t$

Artículo principal: Métrica de Schwarzschild

Sin embargo, para sorpresa de Albert Einstein, pocas semanas después de la publicación de sus ecuaciones de campo, recibió un correo de Karl Schwarzschild, un profesor universitario que en esos momentos se encontraba en el frente, realizando trabajos de balística para las unidades de artillería el ejército alemán. En esa histórica carta se contenían las primeras soluciones exactas de las ecuaciones de la Relatividad General, que serían conocidas con posterioridad con el nombre genérico de Solución de Schwarzschild.

En virtud del Principio de la Covariancia General, era posible la utilización de cualquier sistema de coordenadas, y ello fue aprovechado por Schwarzschild, que calculó los valores de los tensores de energía-momento y de Einstein en coordenadas espacio-temporales esféricas $\ (\theta,\phi,r,t)$ . El alto grado de simetría proporcionado por dicho sistema de coordenadas, así como el carácter estático de la métrica, permitieron soslayar el carácter no lineal de las ecuaciones de universo de Einstein.

La masa del Sol, así como su volumen y su temperatura se han mantenido estables durante millones de años.

En efecto, la métrica de Schwarzschild describe con enorme precisión lo que sucede en sistemas esféricos estáticos, como las estrellas de la secuencia principal. En ellas, la curvatura originada por la gravedad es compensada por la presión del fluido estelar, lo que permite que la estrella, aun sometida a su propio campo gravitatorios, pueda mantener durante millones de años su volumen y su densidad a niveles constantes. La ley de equilibrio hidrostático posibilita, por tanto, que la métrica tenga un carácter estático y que los valores del tensor $\ T_{\alpha\beta}$ se mantengan estables en el tiempo.

La solución de Schwarzschild permitió aplicar los postulados de la Relatividad General a disciplinas como la mecánica celeste y la astrofísica, lo cual supuso una verdadera revolución en el estudio de la cosmología: Apenas seis años después de la publicación de los trabajos de Einstein, el físico ruso Aleksander Fridman introdujo el concepto de singularidad espacio-temporal, definido como un punto del espacio-tiempo en el que confluyen todas las geodésicas de las partículas que habían atravesado el horizonte de sucesos de un agujero negro. En condiciones normales, la curvatura producida por la masa de los cuerpos y las partículas es compensada por la temperatura o la presión del fluido y por fuerzas de tipo electromagnético, cuyo estudio es objeto de la física de fluidos y del estado sólido. Sin embargo, cuando la materia alcanza cierta densidad, la presión de las moléculas no es capaz de compensar la intensa atracción gravitatoria. La curvatura del espacio-tiempo y la contracción del fluido aumentan cada vez a mayor velocidad: el final lógico de este proceso es el surgimiento de una singularidad, un punto del espacio-tiempo donde la curvatura y la densidad de tetramomentum son infinitas.

Ahora bien, el físico Subrahmanyan Chandrasekhar fue el primero en darse cuenta que la gravedad podía ser contenida no sólo por fuerzas de tipo mecánico, sino también por un fenómeno de origen cuántico al que llamó presión de degeneración, derivado del principio de exclusión de Pauli que era capaz de sostener a estrellas que no superasen el límite de Chandrasekhar. Estas ideas tan audaces le costaron caras a su autor, que fue ridiculizado en público por Sir Arthur Eddington durante un congreso de astrónomos. Sin embargo, los cálculos de Chandrasekhar se revelaron certeros, y sirvieron de base para la comprensión de un tipo estelar cuya naturaleza física hasta entonces era desconocida: La enana blanca.

Métrica de Schwarzschild
Métrica de Kerr

Aproximaciones en coordenadas armónicas

Dado que no es posible obtener soluciones exactas para las ecuaciones de universo de Einstein, los físicos teóricos han logrado obtener aproximaciones bastante precisas empleando series de potencias. De entre ellas las más importantes funcionan en coordinadas armónicas y reciben los nombres de aproximación posnewtoniana y aproximación para campos gravitatorios débiles.

En virtud del principio de la covariancia general, ya examinado en secciones anteriores, es posible hacer funcionar a las ecuaciones de universo de Einstein en coordenadas armónicas, que son aquéllas en las que se cumple la relación $\Gamma^{\lambda} = g_{\alpha\beta}\Gamma^{\lambda}_{\alpha\beta} = 0$ (como, por ejemplo, en el caso de las coordenadas cartesianas). Se hace necesario en este punto distinguir con claridad entre los conceptos de planitud del espacio-tiempo y armonicidad de un sistema de coordenadas: en una variedad llana, como el espacio-tiempo de Minkowski, es posible utilizar coordenadas no armónicas como las esféricas o las cilíndricas, sin que ello implique que el espacio se curve, ya que la curvatura es una cualidad instrínseca de cualquier variedad e independiente de nuestro sistema de referencia.

**Potenciales de la aproximación posnewtoniana**
Notación	Expresión Algebraica	Significado físico
$\ \phi$		Potencial newtoniano
$\ \psi$		Retardo del potencial
$\ \zeta$		Momentum

$\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho \to \Phi (x,t) = \int_V \frac{G\rho (x',t)}{r}dV$

$\Box^2 \Phi = 4\pi G\rho \to \Phi (x,t) = \int_V \frac{G\rho (x',t-\frac{r}{c})}{r}dV$

$\ g_{\alpha\beta} = \eta_{\alpha\beta} + h_{\alpha\beta}$

$h_{\alpha\beta} = 2\Phi \to h_{\alpha\beta} = 8\pi G\rho$

$\ h_{\alpha\beta} = 16\pi G (T_{\alpha \beta} - \frac{1}{2}g_{\alpha \beta}T)$

Soluciones relacionadas con los modelos de Universo

Predicciones de la Relatividad General

La más famosa de las primeras verificaciones positivas de la teoría de la relatividad, ocurrió durante un eclipse solar de 1919, que se muestra en la imagen tomada por Sir Arthur Eddington de ese eclipse, que fue usada para confirmar que el campo gravitatorio del sol curvaba los rayos de luz de estrellas situadas tras él.

Se considera que la teoría de la relatividad general fue comprobada por primera vez en la observación de un eclipse total de Sol en 1919 realizada por Sir Arthur Eddington en la que se ponía de manifiesto que la luz proveniente de estrellas lejanas se curvaba al pasar cerca del campo gravitatorio solar alterando la posición aparente de las estrellas cercanas al disco del Sol. Desde entonces muchos otros experimentos y aplicaciones han demostrado las predicciones de la relatividad general. Entre algunas de las predicciones se encuentran:

Efectos gravitacionales

Desviación gravitacional de luz hacia el rojo en presencia de campos con intensa gravedad: La frecuencia de la luz decrece al pasar por una región de elevada gravedad. Confirmado por el experimento de Pound-Rebka (1959).
Dilatación gravitacional del tiempo: Los relojes situados en condiciones de gravedad elevada marcan el tiempo más lentamente que relojes situados en un entorno sin gravedad. Demostrado experimentalmente con relojes atómicos situados sobre la superficie terrestre y los relojes en órbita del Sistema de Posicionamiento Global (GPS por sus siglas en inglés). También, aunque se trata de intervalos de tiempo muy pequeños, las diferentes pruebas realizadas con sondas planetarias han dado valores muy cercanos a los predichos por la relatividad general.
Efecto Shapiro (dilatación gravitacional de desfases temporales): Diferentes señales atravesando un campo gravitacional intenso necesitan mayor tiempo para atravesar dicho campo.
Decaimiento orbital debido a la emisión de radiación gravitacional. Observado en púlsares binarios.
Precesión geodésica: Debido a la curvatura del espacio-tiempo, la orientación de un giroscopio en rotación cambiará con el tiempo. Esto está siendo puesto a prueba por el satélite Gravity Probe B.

Efectos rotatorios

Esto implica el comportamiento del espacio-tiempo alrededor de un objeto masivo rotante.

Fricción de marco. Un objeto en plena rotación va a arrastrar consigo al espacio-tiempo, causando que la orientación de un giroscopio cambie con el tiempo. Para una nave espacial en órbita polar, la dirección de este efecto es perpendicular a la precisión geodésica.

El principio de equivalencia fuerte: incluso objetos que gravitan en torno a ellos mismos van a responder a un campo gravitatorio externo en la misma manera que una partícula de prueba lo haría.

Otros efectos

Gravitones: De acuerdo con la teoría cuántica de campos, la radiación gravitacional debe ser compuesta por cuantos llamados gravitones. La relatividad general predice que estos serán partículas de espín 2. Todavía no han sido observados.

Comprobaciones

La teoría de la relatividad general ha sido confirmada en numerosas formas desde su aparición. Por ejemplo, la teoría predice que la línea del universo de un rayo de luz se curva en las proximidades de un objeto masivo como el Sol. La primera comprobación empírica de la teoría de la relatividad fue a este respecto. Durante los eclipses de 1919 y 1922 se organizaron expediciones científicas para realizar esas observaciones. Después se compararon las posiciones aparentes de las estrellas con sus posiciones aparentes algunos meses más tarde, cuando aparecían de noche, lejos del Sol. Einstein predijo un desplazamiento aparente de la posición de 1,745 segundos de arco para una estrella situada justo en el borde del Sol, y desplazamientos cada vez menores de las estrellas más distantes. Se demostró que sus cálculos sobre la curvatura de la luz en presencia de un campo gravitatorio eran exactos. En los últimos años se han llevado a cabo mediciones semejantes de la desviación de ondas de radio procedentes de quásares distantes, utilizando interferómetros de radio. Las medidas arrojaron unos resultados que coincidían con una precisión del 1% con los valores predichos por la relatividad general.

Otra confirmación de la relatividad general está relacionada con el perihelio del planeta Mercurio. Hacía años que se sabía que el perihelio (el punto en que Mercurio se encuentra más próximo al Sol) gira en torno al Sol una vez cada tres millones de años, y ese movimiento no podía explicarse totalmente con las teorías clásicas. En cambio, la teoría de la relatividad sí predice todos los aspectos del movimiento, y las medidas con radar efectuadas recientemente han confirmado la coincidencia de los datos reales con la teoría con una precisión de un 0,5%.

Se han realizado otras muchas comprobaciones de la teoría, y hasta ahora todas parecen confirmarla.

Relación con otras teorías físicas

En esta parte, la mecánica clásica y la relatividad especial están entrelazadas debido a que la relatividad general en muchos modos es intermediaria entre la relatividad general y la mecánica cuántica.

Sujeto al principio de acoplamiento mínimo, las ecuaciones físicas de la relatividad especial pueden ser convertidas a su equivalente de la relatividad general al reemplazar la métrica de Minkowski (η_ab) con la relevante métrica del espacio-tiempo (g_ab) y reemplazando cualquier derivada normal con derivadas covariantes.

Inercia

Tanto en mecánica cuántica como en relatividad se asumía que el espacio, y más tarde el espacio-tiempo, eran planos. En el lenguaje de cálculo tensorial, esto significaba que R^a_bcd = 0, donde R^a_bcd es el tensor de curvatura de Riemann. Adicionalmente, se asumía que el sistema de coordenadas era un sistema de coordenadas cartesianas. Estas restricciones le permitían al movimiento inercial ser descrito matemáticamente como:

$\ddot{x}^a = 0,$ donde

x^a es un vector de posición,
$\dot{} = \partial / \partial\tau$ , y
τ es tiempo propio.

Hay que notar que en la mecánica clásica, x^a es tridimensional y τ ≡ t, donde t es una coordenada de tiempo.

En la relatividad general, si estas restricciones son usadas en la forma de espacio-tiempo y en el sistema de coordenadas, éstas se perderán. Ésta fue la principal razón por la cual se necesitó una definición diferente de movimiento inercial. En relatividad especial, el movimiento inercial ocurre en el espacio de Minkowski como parametrizada por el tiempo propio. Esto se generaliza a espacios curvos matemáticamente mediante la ecuación de las geodésicas:

$\ddot{x}^a + {\Gamma^a}_{bc} \, \dot{x}^b \,\dot{x}^c = 0,$ donde

${\Gamma^a}_{bc}$ es un símbolo de Christoffel (de otro modo conocido como conexión de Levi-Civita).

Como x es un tensor de rango uno, estas ecuaciones son cuatro y cada una está describiendo la segunda derivada de una coordenada con respecto al tiempo propio. (En la métrica de Minkowski de la relatividad especial, los valores de conexión son todos ceros. Esto es lo que convierte a las ecuaciones geodésicas de la relatividad general en $\ddot{x}^a = 0$ para el espacio plano de la relatividad especial).

Gravitación

En gravitación, la relación entre la teoría de la gravedad de Newton y la relatividad general son gobernadas por el principio de correspondencia: la relatividad general tiene que producir los mismos resultados, así como la gravedad lo hace en los casos donde la física newtoniana ha demostrado ser certera.

Alrededor de objetos simétricamente esféricos, la teoría de la gravedad predice que los otros objetos serán acelerados hacia el centro por la regla $\mathbf{F} = G*M \mathbf{\hat{r}}/r^2$ donde

M es la masa del objeto atraído,
r es la distancia al objeto atraído, y
$\mathbf{\hat{r}}$ es un vector de unidad identificando la dirección al objeto masivo.

En la aproximación de campo débil de la relatividad general tiene que existir una aceleración en coordenadas idénticas. En la solución de Schwarzschild, la misma aceleración de la fuerza de gravedad es obtenida cuando la constante de integración es puesta igual a 2m (donde m=MG/c^2)

Electromagnetismo

El electromagnetismo planteó un obstáculo fundamental para la mecánica clásica, debido a que las ecuaciones de Maxwell no son invariantes según la relatividad galileana. Esto creaba un dilema que fue resuelto por el advenimiento de la relatividad especial.

En forma tensorial, las ecuaciones de Maxwell son

$\partial_a\,F^{\,ab} = (4\pi/c)\,J^{\,b}$ , y
$\partial^{a}\,F^{\,bc} + \partial^{b} \, F^{\,ca} + \partial^{c} \, F^{\,ab} = 0$ , donde

F ^ab es el tensor de campo electromagnético, y
J ^a es una cuadricorriente.

El efecto de un campo electromagnético en un objeto cargado de masa m es entonces

$dP^a/d\tau = (q/m)\,P_b\,F^{\,ab}$ , donde

P ^a es el cuadrimomento del objeto cargado.

En la relatividad general, las ecuaciones de Maxwell se convierten en

$\nabla_a\,F^{\,ab} = (4\pi/c)\,J^{\,b}$ and
$\nabla^a\,F^{\,bc} + \nabla^b \, F^{\,ca} + \nabla^c \, F^{\,ab} = 0$ .

La ecuación para el efecto del campo electromagnético sigue siendo la misma, aunque el cambio de métrica modificará sus resultados. Notesé que al integrar esta ecuación para cargas aceleradas las hipótesis habituales no son válidas (ya que implican que una carga sujeta en un campo gravitato debe comportarse como si estuviera uniformemente acelerada, lo que muestra que una carga uniformemente acelerada no puede radiar).

Conservación de energía-momentum

En la mecánica clásica, la conservación de la energía y el momentum son manejados separadamente. En la relatividad especial, la energía y el momentum están unidos en el cuadrimomento y los tensores de energía. Para cualquier interacción física, el tensor de energía-impulso ${T_a}^b$ satisface la ley local de conservación siguiente:

$\partial_b \, {T_a}^b = 0$

En la relatividad general, esta relación es modificada para justificar la curvatura, convirtiéndose en:

$\nabla_b \, {T_a}^b = \partial_b \, {T_a}^b + {\Gamma^b}_{cb} \, {T_a}^c + {\Gamma^c}_{ab} \, {T_c}^b = 0$

Donde ∇ representa aquí la derivada covariante.

A diferencia de la mecánica clásica y la relatividad especial, en la relatividad general no es siempre posible definir claramente la energía total y el momentum. Esto a menudo causa confusión en espacio-tiempos dependientes del tiempo, en los que no existen vectores de Killing temporales, los cuales no parecen conservar energía, aunque la ley local siempre se satisfaga (Ver energía de Arnowitt, Deser y Misner).

Transición de la relatividad especial a la relatividad general

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La teoría de la relatividad especial presenta covariancia de Lorentz esto significa que tal como fue formulada las leyes de la física se escriben del mismo modo para dos observadores que sean inerciales. Einstein estimó, inspirado por el principio de equivalencia que era necesaria una teoría que presentara una para la que valiera un principio de covariancia generalizado, es decir, en que las leyes de la física se escribieran de la misma forma para todos los posibles observadores fueron estos inerciales o no, eso le llevó a buscar una teoría general de la relatividad. Además el hecho de que la propia teoría de la relatividad fuera incompatible con el principio de acción a distancia le hizo comprender que necesitaba además que esta teoría general incorporase una descripción adecuada del campo gravitatorio.

Hoy sabemos que Einstein consideraba que la teoría de la relatividad sólo era aplicable a sistemas de referencia inerciales estrictamente, aunque Logunov ha probado en el marco de la teoría relativista de la gravitación que de hecho fijado un observador inercial o no, cualquier otro que se mueva con velocidad uniforme respecto al primero escribirá las leyes físicas de la misma forma. Probando así que la relatividad especial de hecho es más general de lo que Einstein creyó en su momento. Además el trabajo de Logunov prueba que siempre que el espacio-tiempo sea plano puede establecerse para cada observador existe un grupo decaparamétrico de transformaciones de coordenadas que generaliza las propiedades del grupo de Lorentz para observadores no inerciales.

El principio de geometrización y el principio de equivalencia fueron las piedras angulares en las que Einstein basó su búsqueda de una nueva teoría, tras haber fracasado en el intento de formular una teoría relativista de la gravitación a partir de un potencial gravitatorio. La teoría escalr de la gravitación de Nordström^[12] y la interpretación geométrica que extrajo de ella Adriaan Fokker (1914), el estudiante de doctorado de Hendrik Lorentz, llevaron a Einstein a poder relacionar el tensor de energía-impulso con la curvatura escalar de Ricci de un espacio-tiempo con métrica $g αβ = φη αβ$ , que involucraba la métrica del espacio-tiempo plano y un campo escalar relacionado con el campo gravitatorio. La superación de las deficiencias de la teoría de la gravitación escalar de Nordström llevaron a Einstein a formular las ecuaciones correctas de campo.

Notas

↑ En alemán: «Über den Einfluß der Schwerkfraft auf die Ausbreitung des Lichtes»
↑ Ello como consecuencia de la fórmula de Planck, que supone que cuanto más energéticos sean los fotones, más alta es su frecuencia.
↑ Escogemos un sistema de coordenadas esférico, compuesto de tres grados de libertad: Latitud $θ$ , longitud $φ$ y distancia respecto al centro $r$ . Los componentes $θ$ y $φ$ de la aceleración son iguales a cero. La aceleración gravitatoria tiene lugar exclusivamente en dirección al centro de la Tierra.
↑ Ambas notaciones son alternativas.
↑ La gravitación universal newtoniana establece que la fuerza (y por lo tanto la aceleración radial) de atracción ejercida por el Sol sobre la tierra es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de ambos cuerpos celestes
↑ La tercera ley de Kepler afirma que los planetas barren áreas iguales en tiempos iguales. Para que esta ley mantenga su validez en toda la trayectoria orbital terrestre es necesario que la aceleración angular sea máxima en las regiones próximas al perihelio, de tal manera que se compense con ello las menores dimensiones del radio.
↑ Más adelante analizaremos con profundidad este tema en el capítulo dedicado a la métrica de Schwarzschild.
↑ En las estrellas de la secuencia principal, la presión viene integrada por dos elementos diferentes: La presión molecular, que es causada por la energía cinética de los átomos e iones del fluido estelar, y que viene parametrizada por la ecuación de Boltzmann $< \frac{1}{2}mv^2 > = \frac{3}{2}kT$ , y la presión de radiación, que es aquella originada por los fotones. Ambos tipos de presión tienden a compensarse en virtud de un proceso físico denominado Bremsstrahlung (radiación de freno). De este modo, los fotones, que en el núcleo del átomo son generados con niveles de energía correspondientes al especro de los rayos gamma, salen del sol con frecuencias del espectro ultravioleta y sobre todo, del de la luz visible.
↑ Dichos efectos se ven incrementados por el desencadenamiento de reacciones termonucleares en todas las capas de la estrella, y no sólo en su núcleo
↑ En alemán: «Anwendung der allgemeinen Relativitätstheorie auf das Gravitationsfeld»
↑ La Relatividad General distingue entre fluidos relativistas, que viajan a velocidades cercanas a la de la luz, y no relativistas, que lo hacen a velocidades relativamente bajas. Al respecto, léase Teoría de la Relatividad.
↑ Ver por ejemplo, Nordström’s theory of gravitation