Relatividad general
“Soy en verdad un viajero solitario -expresó Einstein e una ocasión-, y los ideales que han iluminado mi camino y han proporcionado una y otra vez nuevo valor para afrontar la vida han sido: la belleza, la bondad y la verdad.”
- Para una correcta comprensión de este artículo es recomendable poseer conocimientos previos de mecánica newtoniana, electromagnetismo (ecuaciones de Maxwell) y una visión genérica de la Teoría de la Relatividad en su conjunto.
- Aquellos lectores que carezcan de ellos tienen a su disposición una Introducción a la relatividad general
Explosión de la supernova SN 2006gy, situada a 238 millones de años luz. De ser válido el principio de acción a distancia, las perturbaciones de origen gravitatorio de este estallido llegarían a nosotros automáticamente, mucho antes que las de origen electromagnético, que viajan a una velocidad constante, la de la luz.
La Teoría general de la relatividad o relatividad general es una teoría del campo gravitatorio y de los sistemas de referencia generales, publicada por Albert Einstein en 1915 y 1916.
Tímido y retraído, con dificultades en el lenguaje y lento para aprender en sus primeros años escolares; apasionado de las ecuaciones, cuyo aprendizaje inicial se lo debió a su tío Jakov que lo instruyó en una serie de disciplinas y materias, entre ellas álgebra: “…cuando el animal que estamos cazando no puede ser apresado lo llamamos temporalmente “x” y continuamos la cacería hasta que lo echamos en nuestro morral”, así le explicaba su tío, lo que le permitió llegar a temprana edad a dominar las matemáticas. Dotado de una exquisita sensibilidad que desplegó e el aprendizaje del violín, Albert Einstein fue el hombre destinado a integrar y proyectar, en una nueva concepción teórica, el saber que muchos hombres de ciencia anteriores prepararon con laboriosidad y grandeza.
Nacido en Ulm, Alemania el 14 de marzo de 1879. Antes cumplir dos años, su familia se trasladó a Munich, donde permaneció hasta 1895, período en el cual vio su vida trastornada cuando su familia se trasladó a Italia después del hundimiento de la firma eléctrica de su padre en Munich. Dejado en Munich para que terminara el año escolar, Albert decidió muy pronto abandonar el curso. y reunirse con su familia, cuando aún le faltaban tres años para terminar su educación media. El colegio no lo motivaba; era excelente en matemáticas y física pero no se interesaba por las otras materias. Así, a la edad de dieciséis años, Albert tuvo la oportunidad de conocer la gran tradición cultural italiana; admirar las obras de Miguel Ángel, que le impactara profundamente, y recorrer Italia pensando y estudiando por su cuenta. Durante este período empezó a contemplar los efectos del movimiento a la velocidad de la luz, un rompecabezas cuya resolución cambiaría para siempre la, física y la cosmología.
En Italia tuvo toda la libertad que quería y gozó por un tiempo de su vida, pero su padre lo obligó a pensar en la universidad. Regresó a Munich y luego se traslado a Zurich, en Suiza, para continuar sus estudios. En esta última ciudad no pudo ingresar a la universidad debido a no haber completado sus estudios secundarios. Alternativamente decidió incorporarse al Instituto Politécnico de Zurich, donde logró estudiar física y matemáticas con Heinrich Weber y Hermann Minkowski. Fue condiscípulo de Marcel Grossmann, que llegó a ser su gran amigo. Pero en la nación helvética, los caminos que tuvo que recorrer Albert Einstein no fueron fáciles. Llegó a conocer el hambre, la segregación académica - por no ser suizo - y también llegó a casarse con una joven matemática croata, Mileva Maric, luego de haber terminado sus estudios, en el año 1900, y de haber obtenido la nacionalidad suiza.
Con la graduación llegó el final de la asignación que le pasaba su familia, y Einstein tuvo que buscar trabajo. Sin recomendaciones -más tarde recordó que “no estaba en buenas relaciones con ninguno de sus anteriores maestros”-, no pudo encontrar ningún trabajo permanente y tuvo que arreglárselas de maestro para dictar clases particulares y/o a tiempo parcial. Después de dos años de empleos esporádicos, Einstein se volvió a beneficiar de la amistad de Marcel Grossmann, a quién había conocido en sus tiempos de estudiantes del Instituto Politécnico de Zurich, que por aquel entonces estaba enseñando matemáticas. A través de su contacto familiar, Grossmann consiguió para Einstein un puesto como experto técnico de tercera clase en la Oficina de Patentes suiza en Berna.
Trabajando en la oficina de patentes de Berna, Einstein pudo escamotear tiempo en su trabajo, gracias al dominio que había logrado en las funciones que desempeñaba, y dedicarlo para sus propios estudios sobre temas tales como las propiedades físicas de la luz. Por las noches trabajaba en ciencias o invitaba a algunos amigos a su apartamento para hablar de física, filosofía y literatura. Estas reuniones solían ser animadas y ruidosas duraban hasta altas horas de la noche, ante la irritación de sus vecinos. Aunque Einstein era esencialmente un solitario, la oportunidad de desarrollar ideas y probarlas sobre los agudos intelectos de sus amigos era valiosísima. Empezó a publicar los resultados de sus investigaciones en uno de los principales diarios científicos, y focalizó sus intuitivos análisis sobre las implicaciones de la cuestión que lo había intrigado años antes: ¿Cómo sería cabalgar en un rayo de luz?
A la temprana edad de veintiséis años, Einstein publicó cuatro trabajos científicos. En uno postula los cuanta de luz, para explicar el efecto fotoeléctrico. El segundo trabajo era acerca del movimiento browniano. Sin duda el trabajo más importante fue el titulado «Acerca de la electrodinámica de los cuerpos en movimiento», donde expone la relatividad especial. En él plantea dos postulados que tienen inmensas consecuencias:
Todos los observadores que se mueven entre sí con velocidad constante son equivalentes en lo que a las leyes de la física se refiere. Este es el principio de relatividad que excluye la noción de espacios y tiempos absolutos.
La velocidad de la luz en el vacío es la misma para todos los observadores, 299.792 kilómetros por segundo, y es independiente del movimiento relativo entre la fuente de luz y el observador. Este postulado explica el resultado negativo del experimento de Michelson y Morley. En esos primeros años Einstein plantea su famosa relación E = m x c2, el producto de la masa por el cuadrado de la velocidad de la luz dan la energía asociada a una masa m. Masa y energía son dos formas equivalentes. Esto produjo una revolución en nuestra comprensión de la física del Sol y las estrellas y constituye la base de la energía nuclear.
Hacia 1909, fue nombrado profesor del Instituto Politécnico de Zurich. Actividad docente que luego desarrolló en Praga y Berlín. Einstein trabajó afanosamente en una generalización de su teoría de la relatividad. En 1911, formula el principio de equivalencia entre un movimiento acelerado y un campo gravitacional.
Separado de su primera mujer, con la cual tuvo dos hijos varones, contrajo matrimonio con su prima Elsa Einstein en 1915, que también era separada y con dos hijas. Un año después, en 1916, dio a conocer su teoría general de la relatividad, en un periodo pleno de vivacidad y alegría. Escribió a uno de sus amigos: “En el curso de este último mes he vencido el periodo más excitante de mi vida y el más fructífero”. En la relatividad general, geometriza la gravitación. Una masa deforma el espaciotiempo a su alrededor y Einstein proporciona las matemáticas que permiten calcular punto a punto la “geometría” en la vecindad de una masa.
Pese a ser de una concepción eminentemente de base de matemática abstracta, la relatividad general tenía un gran número de aplicaciones concretas. Por un lado, explicaba una desconcertante discrepancia en la órbita de Mercurio, el planeta más interior del sistema solar. El perihelio del planeta -el punto en el que está más cerca del Sol- avanzaba cada año en una cantidad significativamente más grande que la predicha por las leyes de Newton. En sus esfuerzos por explicar la diferencia, los astrónomos habían especulado durante algún tiempo en la existencia de un pequeño planeta que orbitara entre Mercurio y el Sol. Einstein demostró que ese cuerpo era innecesario. Su nueva teoría de la gravedad explicaba completamente el misterio de la órbita de Mercurio como una consecuencia del espacio intensamente curvado en las inmediaciones del Sol.
El éxito de esta primera aplicación de la teoría a la observación complació enormemente a Einstein: ” Estuve fuera de mí por el éxtasis durante días”, escribió a un amigo. La hazaña impresionó también a sus colegas científicos, pero después de todo era una explicación a hechos ya conocidos.
La primera comprobación empírica de la teoría de la relatividad ocurrió, cuando mediciones hechas durante el eclipse total de Sol de 1919 demostraron que sus cálcalos, sobre la curvatura de la luz en presencia de un campo gravitatorio, eran exactos. Cuando se dieron a conocer los resultados en la Royal Society de Londres, su presidente expresó emocionadamente: “No se trata en este caso del descubrimiento de una isla alejada del mundo, sino de todo un nuevo continente de nuevas ideas científicas. Es el más grande descubrimiento concerniente a la gravitación que se haya hecho después que Newton enunció sus principios”.
Pero junto con la gloria también se hizo presente el dolor. En poco tiempo había perdido a su hijo Eduardo y fallecían dos de sus hijas: Ilsa y la que había tenido con su primera esposa.
Albert Einstein fue galardonado con el Premio Nobel de Física en el año 1921, por sus investigaciones sobre el efecto fotoeléctrico y sus grandes aportaciones en el terreno de la física teórica.Desde comienzos de los años ‘30, y con el avenimiento en Alemania del nazismo, su vida se caracterizó por sus continuos viajes obligados, protegiéndose del régimen gobernante alemán, y por su decidida oposición a éste. Vivió en Coq, Bélgica, accediendo a una invitación de los reyes. Estuvo asimismo en Francia y Gran Bretaña, para finalmente echar raíces en Estados Unidos y, a contar de 1933, establecerse en Princenton. Allí falleció en 1936 su segunda esposa. En 1940, obtuvo la nacionalidad norteamericana y, hasta su muerte, acaecida el 18 de abril de 1955, Einstein trabajó por integrar en una misma teoría las cuatro fuerzas de la naturaleza: gravedad, electromagnetismo, y las subatómica fuerte y débil, las cuales comúnmente reconocemos como «fuerzas de campo».
Einstein escribió numerosos artículos de divulgación para revistas científicas, dictó conferencias que transcribieron, y algunos libros. Los títulos más destacados: Electrodinámica de los cuerpos en movimiento, Fundamentos de la teoría de la relatividad general, Sobre la teoría del campo unificado, Mis ideas y opiniones; La física, aventura del pensamiento, esta última obra escrita en colaboración con Leopold Infeld.
Einstein fue un científico que legó su preeminencia, hasta ahora, sin contrapesos. Genial y con la misma intuición física de Newton, pero con un carácter simpático; un visionario como Kepler, pero que siempre supo mantenerse aterrizado sobre la Tierra, recibió en vida, al igual que Newton, todos los honores y el respeto que un genio tan excepcional merece.
El nombre de la teoría se debe a que generaliza la llamada teoría especial de la relatividad. Los principios fundamentales introducidos en esta generalización son el Principio de equivalencia, que describe la aceleración y la gravedad como aspectos distintos de la misma realidad, la noción de la curvatura del espacio-tiempo y el principio de covariancia generalizado.
La intuición básica de Einstein fue postular que en un punto concreto no se puede distinguir experimentalmente entre un cuerpo acelerado uniformemente y un campo gravitatorio uniforme. La teoría general de la relatividad permitió fundar también el campo de la cosmología.
Resumen de la Ley (Albert Einstein y la relatividad)

Según las leyes del movimiento establecidas por primera vez con detalle por Isaac Newton hacia 1680-89, dos o más movimientos se suman de acuerdo con las reglas de la aritmética elemental. Supongamos que un tren pasa a nuestro lado a 20 kilómetros por hora y que un niño tira desde el tren una pelota a 20 kilómetros por hora en la dirección del movimiento del tren. Para el niño, que se mueve junto con el tren, la pelota se mueve a 20 kilómetros por hora. Pero para nosotros, el movimiento del tren y el de la pelota se suman, de modo que la pelota se moverá a la velocidad de 40 kilómetros por hora.
Como veis, no se puede hablar de la velocidad de la pelota a secas. Lo que cuenta es su velocidad con respecto a un observador particular. Cualquier teoría del movimiento que intente explicar la manera en que las velocidades (y fenómenos afines) parecen variar de un observador a otro sería una «teoría de la relatividad».
La teoría de la relatividad de Einstein nació del siguiente hecho: lo que funciona para pelotas tiradas desde un tren no funciona para la luz. En principio podría hacerse que la luz se propagara, o bien a favor del movimiento terrestre, o bien en contra de él. En el primer caso parecería viajar más rápido que en el segundo (de la misma manera que un avión viaja más aprisa, en relación con el suelo, cuando lleva viento de cola que cuando lo lleva de cara). Sin embargo, medidas muy cuidadosas demostraron que la velocidad de la luz nunca variaba, fuese cual fuese la naturaleza del movimiento de la fuente que emitía la luz.
Einstein dijo entonces: supongamos que cuando se mide la velocidad de la luz en el vacío, siempre resulta el mismo valor (unos 299.793 kilómetros por segundo), en cualesquiera circunstancias. ¿Cómo podemos disponer las leyes del universo para explicar esto? Einstein encontró que para explicar la constancia de la velocidad de la luz había que aceptar una serie de fenómenos inesperados.
Halló que los objetos tenían que acortarse en la dirección del movimiento, tanto más cuanto mayor fuese su velocidad, hasta llegar finalmente a una longitud nula en el límite de la velocidad de la luz; que la masa de los objetos en movimiento tenía que aumentar con la velocidad, hasta hacerse infinita en el límite de la velocidad de la luz; que el paso del tiempo en un objeto en movimiento era cada vez más lento a medida que aumentaba la velocidad, hasta llegar a pararse en dicho límite; que la masa era equivalente a una cierta cantidad de energía y viceversa.
Todo esto lo elaboró en 1905 en la forma de la «teoría especial de la relatividad», que se ocupaba de cuerpos con velocidad constante. En 1915 extrajo consecuencias aún más sutiles para objetos con velocidad variable, incluyendo una descripción del comportamiento de los efectos gravitatorios. Era la «teoría general de la relatividad».
Los cambios predichos por Einstein sólo son notables a grandes velocidades. Tales velocidades han sido observadas entre las partículas subatómicas, viéndose que los cambios predichos por Einstein se daban realmente, y con gran exactitud. Es más, sí la teoría de la relatividad de Einstein fuese incorrecta, los aceleradores de partículas no podrían funcionar, las bombas atómicas no explotarían y habría ciertas observaciones astronómicas imposibles de hacer.
Pero a las velocidades corrientes, los cambios predichos son tan pequeños que pueden ignorarse. En estas circunstancias rige la aritmética elemental de las leyes de Newton; y como estamos acostumbrados al funcionamiento de estas leyes, nos parecen ya de «sentido común», mientras que la ley de Einstein se nos antoja «extraña».
¿Por qué es necesaria la Relatividad General?
Los éxitos explicativos de la teoría de la relatividad especial condujo a la aceptación de la teoría por la mayor parte de los físicos. Antes de la formulación de la relatividad general existían por tanto dos teorías físicas incompatibles:
- La teoría especial de la relatividad que integraba adecuadamente el electromagnetismo, y que descarta explícitamente las acciones instantáneas a distancia.
- La teoría de la gravitación de Newton que explicaba la gravedad mediante acciones instantáneas a distancia.
La necesidad de buscar una teoría que integrase como casos límites particulares las dos anteriores requería la búsqueda de una teoría de la gravedad que fuese compatible con los nuevos principios relativistas introducidos por Einstein. Además de la formulación de una teoría relativista de la gravitación, hubo otra razón adicional. Einstein había concebido la teoría especial de la relatividad como una teoría aplicable sólo a sistemas de referencia inerciales, aunque realmente puede generalizarse a sistemas acelerados sin necesidad de introducir todo el aparato de la relatividad general. La insatisfacción de Einstein con su creencia de que la teoría era aplicable sólo a sistemas inerciales le llevó a buscar una teoría que proporcionara descripciones físicas adecuadas para un sistema de referencia totalmente general.
Esta búsqueda era necesaria, ya que según la Relatividad Especial ninguna información puede viajar a mayor velocidad que la luz, y por lo tanto no puede existir relación de causalidad entre dos eventos unidos por un intervalo espacial. Sin embargo, uno de los pilares fundamentales de la gravedad newtoniana, el principio de acción a distancia, supone que las alteraciones producidas en el campo gravitatorio se transmiten instantáneamente a través del espacio. La contradicción entre ambas teorías es evidente, puesto que asumir las tesis de Newton llevaría implícita la posibilidad de que un observador fuera afectado por las perturbaciones gravitatorias producidas fuera de su cono de luz.
Einstein resolvió este problema interpretando los fenómenos gravitatorios como simples alteraciones de la curvatura del espacio-tiempo producidas por la presencia de masas. De ello se deduce que el campo gravitatorio, al igual que el campo electromagnético, tiene una entidad física independiente y sus variaciones se transmiten a una velocidad finita en forma de ondas gravitacionales. La presencia de masa, energía o momentum en una determinada región de la variedad tetradimensional, provoca la alteración de los coeficientes de la métrica, en una forma cuyos detalles pormenorizados analizaremos en las secciones siguientes.
Principios generales
Las características esenciales de la teoría general de la relatividad son las siguientes:
Principio de covariancia
El principio de covariancia es la generalización de la teoría de la relatividad especial, donde se busca que las leyes para la naturaleza tengan la misma forma en todos los sistemas de referencia, lo cual equivale a que todos los sistemas de referencia sean indistinguibles. En otras palabras, que cualquiera que sea el movimiento de los observadores, las ecuaciones tendrán la misma forma y contendrán los mismos términos. Ésta fue la principal motivación de Einstein para que estudiara y postulara la relatividad general.
El principio de covariancia sugería que las leyes debían escribirse en términos de tensores, cuyas leyes de transformación covariantes y contravariantes podían proporcionar la “invariancia” de forma buscada, satisfaciéndose el principio de covariancia.
El principio de equivalencia
Los dos astronautas de la imagen se encuentran en una nave en caída libre. Por ello no experimentan gravedad alguna (su estado se describe coloquialmente como “de gravedad cero”). Se dice por ello que son observadores inerciales.
Un hito fundamental en el desarrollo de la teoría de la Relatividad General lo constituyó la enunciación por Albert Einstein en el año 1912 del principio de equivalencia, al que su autor calificó como “la idea más feliz de mi vida”. Dicho principio supone que un sistema que se encuentra en caída libre y otro que se mueve en una región del espacio-tiempo sin gravedad se encuentran en un estado físico sustancialmente similar: en ambos casos se trata de sistemas inerciales.
La mecánica clásica distinguía entre cuerpos de movimiento inercial (en reposo o moviéndose a velocidad constante) o cuerpos de movimiento no inercial (aquellos sometidos a un movimiento acelerado). En virtud de la segunda ley de Newton, toda aceleración estaba causada por la aplicación de una fuerza exterior. La relación entre fuerza y aceleración se expresaba mediante esta fórmula:

Donde a la aceleración, F la fuerza y m la masa. La fuerza podía ser de origen mecánico, electromagnético, y cómo no, gravitatorio. Según los cálculos de Galieo y de Newton, la aceleración gravitatoria de los cuerpos era constante y equivalía a 9.8m / s2 sobre la superficie terrestre. La fuerza con la que un cuerpo era atraída al centro de la Tierra se denominaba peso. Evidentemente, según los axiomas de la mecánica clásica un cuerpo en caída libre no es un sistema inercial, puesto que es atraído hacia el centro de masas del campo gravitatorio en que se encuentra.
Sin embargo, la Teoría de la Relatividad considera que los efectos gravitatorios no son creados por fuerza alguna, sino que encuentran su causa en la curvatura del espacio-tiempo generado por la presencia de masas. Por ello, un cuerpo en caída libre es un sistema inercial, ya que no está sometido a fuerza alguna (porque la gravedad no lo es). Un observador situado en un sistema inercial (como una nave en órbita) no experimenta aceleración alguna y es incapaz de discernir si está atravesando o no un campo gravitatorio. Como consecuencia de ello, las leyes de la física se comportan como si no existiera curvatura gravitatoria alguna. De ahí que el principio de equivalencia también reciba el nombre de Invariancia Local de Lorentz: En los sistemas inerciales rigen los principios y axiomas de la Relatividad Especial.
El principio de equivalencia implica asimismo que los observadores situados en reposo sobre la superficie de la tierra no son sistemas inerciales (experimentan una aceleración de origen gravitatorio de unos 9.8 metros por segundo al cuadrado, es decir, sienten su peso).
Ejemplos de sistemas inerciales según el Principio de Equivalencia
| Sistema |
¿Es inercial?
(Principio de Equivalencia) |
¿Es inercial?
(Mecánica newtoniana) |
| Cuerpo en caída libre |
Sí |
No |
| Cuerpo en reposo sobre la superficie terrestre |
No |
Sí |
| Planeta orbitando alrededor del sol |
Sí |
No |
| Nave precipitándose hacia la tierra |
Sí |
No |
| Cohete despegando desde una base de lanzamiento |
No |
No |
En general, podría decirse que la mecánica clásica tiene en cuenta la aceleración medida por un observador en reposo respecto al campo gravitatorio (p.e. un astrónomo). Por el contrario, el Principio de Equivalencia toma en consideración la aceleración experimentada por un observador situado el sistema en cuestión: cualquier cuerpo que se mueva sin restricciones por un campo gravitatorio puede ser considerado como un sistema inercial. Es el caso de los planetas que orbitan en torno del Sol y de los satélites que orbitan alrededor de los primeros: los habitantes de la Tierra no llegan a percibir si nos estamos acercando o alejando del Sol, ni si nos encontramos en el afelio o en el perihelio, a pesar de las enormes diferencias de la gravedad solar.
La gravedad se convierte, en virtud del Principio de Equivalencia, en una fuerza aparente, como la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis: en estos dos últimos supuestos su aparición es debida a la elección de un marco de referencia acelerado (un observador situado en la superficie de una esfera en rotación). En el caso de la gravedad, únicamente percibimos la fuerza aparente gravitatoria cuando escogemos un sistema de referencia no inercial (en reposo sobre la superficie terrestre), pero no cuando nos situamos en otro que sí lo es (un cuerpo en caída libre).
Aunque el principio de equivalencia fue históricamente importante en el desarrollo de la teoría, no es un ingrediente necesario de una teoría de la gravedad, como prueba el hecho de que otras teorías métricas de la gravedad, como la teoría relativista de la gravitación prescindan del principio de equivalencia. Además conviene señalar que el principio de equivalencia no se cumple en presencia de campos electromagnéticos, por ejemplo una partícula cargada moviéndose a lo largo de una geodésica de un espacio-tiempo cualquiera en general emitirá radiación, a diferencia de una partícula cargada moviéndose a lo largo de una geodésica del espacio de Minkowski. Ese y otros hechos sugieren que el principio de equivalencia a pesar de su equivalencia histórica no es parte esencial de una teoría relativista de la gravitación.
Formulación y consideraciones generales
Matemáticamente, Einstein modelizó la geometría del espacio-tiempo por una variedad pseudoriemanniana y sus ecuaciones de campo establecen que la curvatura seccional de esta variedad en un punto está relacionada directamente con el tensor de energía en dicho punto.
Dicho tensor es una medida de la densidad de materia y energía. La curvatura le dice a la materia como moverse, y de forma recíproca la materia le dice al espacio como curvarse. La ecuación de campo posible no es única, habiendo posibilidad de otros modelos sin contradecir la observación. La relatividad general se distingue de otras teorías de la gravedad por la simplicidad de acoplamiento entre materia y curvatura, aunque todavía no se ha resuelto su unificación con la Mecánica cuántica y el reemplazo de la ecuación de campo con una ley adecuada a la cuántica. Pocos físicos dudan que una teoría así, una teoría del todo pondrá a la relatividad general en el límite apropiado, así como la relatividad general predice la ley de la gravedad en el límite no relativista.
La curvatura del espacio-tiempo
La aceptación del principio de equivalencia por Albert Einstein le llevó a un descubrimiento ulterior: La contracción o curvatura del tiempo como consecuencia de la presencia de un campo gravitatorio, que quedó expresado en su artículo de 1911 “Sobre la influencia de la gravedad en la propagación de la luz”[1] .
Supongamos que un fotón emitido por una estrella cercana se aproxima a la Tierra. En virtud de la ley de conservación del tetramomentum la energía conservada del fotón permanece invariante. Por otro lado, el principio de equivalencia implica que un observador situado en el fotón (que es un sistema inercial, es decir, se halla en caída libre) no experimenta ninguno de los efectos originados por el campo gravitatorio terrestre. De ello se deduce que la energía conservada del fotón no se altera como consecuencia de la acción de la gravedad, y tampoco lo hace la frecuencia de la luz, ya que, según la conocida fórmula de la física cuántica, la energía de un fotón es igual a su frecuencia (v) multiplicada por la constante de Planck (h): E = hν.
En la imagen se reproduce el corrimiento gravitacional hacia el rojo de un fotón que escapa del campo gravitatorio solar y se dirige hacia la Tierra. En este caso, la onda electromagnética pierde progresivamente energía y su frecuencia disminuye conforme aumenta la distancia al Sol.
Ahora bien, si las observaciones las realizara un astrónomo situado en la superficie de la Tierra, esto es, en reposo respecto su campo gravitatorio, los resultados serían muy diferentes: El astronomo podría comprobar cómo el fotón, por efecto de su caída hacia la Tierra, va absorbiendo progresivamente energía potencial gravitatoria y, como consecuencia de esto último, su frecuencia se corre hacia el azul[2] . Los fenómenos de absorción de energía por los fotones en caída libre y corrimiento hacia el azul se expresan matemáticamente mediante las siguientes ecuaciones:


- νrec = νeme − Φ
Donde
es la energía medida por un observador en reposo respecto al campo gravitatorio (en este caso un astrónomo),
el potencial gravitatorio de la región donde se encuentra éste,
la energía conservada del fotón, νem la frecuencia de emisión, νrec es la frecuencia percibida por el observador (y corrida hacia el azul) y
la constante de Planck.
Ahora bien, en el párrafo anterior hemos demostrado que la energía conservada del fotón permanece invariante. Por tanto, ¿cómo es posible que exista esta divergencia entre los resultados de la medición de la energía obtenidos por el astrónomo (Eobs) y la energía conservada del fotón (Econ)? La única manera de resolver esta contradicción es considerando que el tiempo se ralentiza como consecuencia de la presencia de un campo gravitatorio. De este modo, la citada ecuación

puede escribirse de este modo:

Es decir, la frecuencia es igual al número de ciclos que tienen lugar en un determinado periodo de tiempo (generalmente, un segundo). Donde dtem es el tiempo medido por un observador situado a una distancia infinita del cuerpo masivo (y por lo tanto no experimenta la atracción gravitatoria de éste), mientras que dtobs es el tiempo medido por un observador bajo la influencia del campo gravitatorio y en reposo respecto a este (como, por ejemplo, una persona situada sobre la superficie terrestre. De ahí se deduce que cerca de un cuerpo masivo el tiempo se ralentiza, siguiendo estas reglas matemáticas:


En una singularidad espacio-temporal (como las que existen en el interior de los agujeros negros), la densidad de masa-materia y el campo gravitatorio tienden al infinito, lo que provoca la congelación del tiempo y por lo tanto la eliminación de todo tipo de procesos dinámicos:

En la imagen, dos partículas en reposo relativo, en un espacio-tiempo llano.
Se representan en este esquema dos partículas que se acercan entre sí siguiendo un movimiento acelerado. La interpretación newtoniana supone que el espacio-tiempo es llano y que lo que provoca la curvatura de las líneas de universo es la fuerza de interacción gravitatoria entre ambas partículas. Por el contrario, la interpretación einsteiniana supone que las líneas de universo de estas partículas son geodésicas (”rectas”), y que es la propia curvatura del espacio tiempo lo provoca su aproximación progresiva.
La contracción del tiempo debido a la presencia de un campo gravitatorio fue confirmado experimentalmente en el año 1959 por el experimento Pound-Rebka-Snider, llevado a cabo en la universidad de Harvard. Se colocaron detectores electromagnéticos a una cierta altura y se procedió a emitir radiación desde el suelo. Todas las mediciones que se realizaron confirmaron que los fotones habían experimentado un corrimiento hacia el rojo durante su ascenso a través del campo gravitatorio terrestre.
Hoy en día, el fenómeno de la contracción del tiempo tiene cierta importancia en el marco del servicio localizador GPS, cuyas exigencias de exactitud requieren de una precisión extrema: Basta con que se produzca un retraso de 0.04 microsegundos en la señal para que se produzca un error de posicionamiento de unos 10 metros. De ahí que las ecuaciones de Einstein hayan de ser tenidas en cuenta al calcular la situación exacta de un determinado objeto sobre la superficie terrestre.
Desde un punto de vista teórico, el artículo de Einstein de 1911 tuvo una importancia aún mayor. Pues, la contracción del tiempo conllevaba también, en virtud de los principios de la Relatividad Especial, la contracción del espacio. De ahí que fuera inevitable a partir de este momento descartar la existencia de un espacio-tiempo llano, y fuera necesario asumir la curvatura de la variedad espacio-temporal como consecuencia de la presencia de masas.
En la relatividad general, fenómenos que la mecánica clásica atribuye a la acción de la fuerza de gravedad, tales como una caída libre, la órbita de un planeta o la trayectoria de una nave espacial, son interpretados como efectos geométricos del movimiento en un espacio-tiempo curvado. De hecho una partícula libre en un campo gravitatorio sigue líneas de curvatura mínima a través de este espacio tiempo-curvado.
Finalmente, podemos hacer referencia a la desviación de los rayos de la luz como consecuencia de la presencia de un cuerpo masivo, fenómeno que da lugar a efectos ópticos como las lentes gravitacionales o los anillos de Einstein.
Frente de onda desviado. Lente gravitacional. Experimento de Eddington.
Los diferentes tensores y escalares de la Relatividad General
La derivada covariante
Uno de los conceptos esenciales sobre el que gira toda la Teoría de la Relatividad General es el de derivada covariante (también llamada conexión afín), que fue definida por primera vez por el matemático italiano Tullio Levi-Civita y que puede ser considerada tanto desde una perspectiva física como desde otra matemática.
Los cuerpos en caída libre (como las naves en órbita) son sistemas inerciales en los que la
derivada covariante de su velocidad es nula (

). Por ello, no experimentan ningún tipo de aceleración inercial provocada por la “fuerza gravitatoria”. Sin embargo, un observador externo, como un astrónomo situado en la Tierra, puede observar cómo dicho cuerpo en caída libre se aproxima a la Tierra con una aceleración creciente (de ahí que la
derivada ordinaria de la velocidad en este caso sea diferente a cero -

-)
Dice la leyenda apócrifa que fue la manzana de un árbol la que provocó que Newton se diera cuenta que los objetos caen y por lo tanto aceleran como consecuencia de la gravitación universal. Y es que los objetos en reposo sobre la superficie terrestre experimentan, como consecuencia de la
fuerza aparente gravitatoria, una aceleración inercial de
9,8m / s2 (y por lo tanto la
derivada covariante de su velocidad también tiene ese valor
[3] ). Sin embargo, dichos objetos, puesto que están en reposo, tienen una aceleración relativa nula respecto a un observador terrestre (es decir, la
derivada ordinaria de su velocidad es cero (

)
Desde un punto de vista físico, la derivada ordinaria de la velocidad
es la aceleración de un cuerpo medida por un observador externo en reposo respecto a un campo gravitatorio (por ejemplo, un astrónomo situado sobre la superficie terrestre). En este caso el observador se mantiene a una distancia r constante del centro de masas, pero no así el objeto observado, que progresivamente se va aproximando al origen del campo gravitatorio.
Por el contrario, la derivada covariante de la velocidad
ó
[4] ) es la aceleración medida por un observador comóvil, es decir, que está en reposo respecto al cuerpo en caída libre (por ejemplo, el piloto de un avión en caída libre o los tripulantes de una nave espacial con sus motores apagados).
En resumidas cuentas, la derivada ordinaria se utiliza para computar la aceleración ordinaria de un cuerpo, mientras que la derivada covariante es empleada para calcular su aceleración inercial. Según la mecánica galileana y newtoniana estos dos tipos de aceleración son idénticos, y en base a este axioma se desarrollaron nuevos principios mecánicos como el Principio de d’Alembert. Sin embargo, del principio de equivalencia de Einstein se deduce que cuando un cuerpo está sometido a un campo gravitatorio, su aceleración ordinaria cambia, pero no su aceleración inercial. De ahí que para Einstein fuera absolutamente necesario introducir en su teoría el concepto de derivada covariante.
Desde un punto de vista estrictamente matemático, el cálculo de la derivada covariante tiene lugar a través de un sencillo procedimiento. Se procede en primer lugar al cómputo de la derivada parcial covariante y luego se generaliza ésta.
La derivada ordinaria se aplica exclusivamente sobre los componentes de un vector, mientras que la derivada covariante se aplica también sobre las bases del espacio vectorial:

Sobre esta ecuación procedemos a aplicar la regla del producto (o de Leibniz),

Llegados a este punto introducimos una nueva notación, los símbolos de Christoffel, que pueden ser definidos como el componente
de la derivada parcial de
respecto a
:
. De este modo:

Realizamos un intercambio de índices (
por
) en el último término del segundo miembro de la ecuación:

Y obtenemos con ello los componentes de la derivada parcial covariante de la velocidad, que equivalen a la expresión entre paréntesis:


Generalizamos dichos componentes multiplicándolos por el componente
de la tetravelocidad (
) y obtenemos con ello la derivada covariante de la velocidad:


Puesto que para un observador inercial (p.e. un cuerpo en caída libre)
, esta última ecuación toma la siguiente forma:


Estas fórmulas reciben el nombre de ecuación de las líneas geodésicas, y se utilizan para calcular la aceleración gravitatoria de cualquier cuerpo.
Con ayuda de la ecuación de las líneas geodésicas podemos determinar la aceleración radial y angular de la Tierra respecto al Sol. Puesto que la curvatura gravitatoria los valores de los símbolos de Christoffel aumentan conforme nos acercamos al Sol, de ello se deduce que la aceleración de la Tierra es máxima en las proximidades del
perihelio, exactamente tal y como predicen las leyes de Newton
[5] y Kepler
[6] .
A los lectores principiantes puede chocarles la propia definición de los símbolos de Christoffel. A fin de cuentas, en el espacio euclideo, la derivada de una base (por ejemplo ex) respecto a otra cordenada (pongamos y) es siempre cero, por la simple razón de que las bases de ambas coordenadas son ortogonales. Sin embargo, esto no sucede así en las variedades curvas, como por ejemplo las superficies de un cilindro o de una esfera: En tales casos, los símbolos de Christoffel no son iguales a cero, sino que son funciones de las derivadas del tensor métrico. La relación matemática entre estas dos magnitudes matemáticas se expresa mediante la siguiente ecuación:

Los símbolos de Christoffel constituyen un verdadero parámetro para determinar cuál es el grado de curvatura existente en una región determinada y con su ayuda podemos determinar cuál va a ser la trayectoria de una geodésica en un espacio curvo. En el caso de la variedad espacio-temporal, la Teoría de la Relatividad afirma que su curvatura viene originada por la presencia de masas y el potencial gravitatorio, y por ello, cuanta mayor sea la densidad de materia existente en una determinada región, mayores serán los valores de los símbolos de Christoffel.
Los principios de general covariancia y acoplamiento mínimo
En un espacio-tiempo curvo, las leyes de la física se modifican mediante el Principio de acoplamiento mínimo, que supone que las ecuaciones matemáticas en cuya virtud se expresan aquellas experimentan las siguientes modificaciones:
- La derivada ordinaria es sustituida por la derivada covariante.
- La métrica de Minkowski es sustituida por una formulación general del tensor métrico.


De este modo, la ecuación galileana de los sistemas inerciales se transforma en virtud de dicho principio en la ecuación relativista de las líneas geodésicas:

Ley de conservación de la energía:

Sin embargo, en virtud del principio de simetría de los símbolos de Christoffel, las leyes electromagnéticas en general no experimentan modificaciones debidas a la curvatura gravitatoria:




Alteración de las leyes físicas producida por la curvatura
Derivada covariante
| Objeto o ley físico-matemática |
Espacio-tiempo llano |
Espacio-tiempo curvo |
¿Se produce alteración
por la curvatura? |
Ley de conservación
de la energía |
 |
 |
Sí |
| Tensor electromagnético |
 |
 |
No |
| Ecuaciones de Maxwell |
|
|
No |
| Velocidad de la luz |
 |
 |
No |
| Ecuación de un sistema inercial |
 |
 |
Sí |
| Aceleración |
|
|
Sí |
| Volumen |
|
|
Sí |
- Ecuación líneas geodésicas
El tensor de Riemann y la curvatura de las líneas de universo
![R^{\alpha}_{\mu\nu\beta} = <\omega^\alpha, [\nabla_{\mu} , \nabla_{\nu}] e_\beta>](http://upload.wikimedia.org/math/8/f/6/8f6533eebbfac3ce94aa77f64eabeeeb.png)







Como es sabido la relatividad general explica los campos gravitatorios como un efecto geométrico de la curvatura del espacio-tiempo. Eso significa que el espacio-tiempo en el que vivimos no es plano, y por tanto el tensor de curvatura del mismo es diferente de cero. En teoría de la relatividad general la curvatura queda completamente caracterizada por el tensor de Riemann asociado al tensor métrico que sirve para medir las distancias, ángulos, superificies y volúmenes. La relación entre las componentes coordenadas del tensor de curvatura de Riemann y los símbolos de Christoffel directamente calculables a partir del tensor métrico es:
|
 |
|
Como puede verse esta expresión depende de manera no lineal tanto de los símbolos de Christoffel como de la métrica asociada. Esto tiene importantes consecuencias, entre otras que las ecuaciones básicas de la relatividad general no sean lineales y por tanto sea difícil encontrar soluciones exactas de las mismas, a diferencia de lo que sucede por ejemplo con las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético.
Supongamos que:


Pero:


Entonces:


![[\nabla_{\mu} , \nabla_{\nu} ] u^\alpha = R^{\alpha}_{\beta\mu\nu}u^{\beta}](http://upload.wikimedia.org/math/4/8/d/48dd06deddfddde4d9ff0e171a4288b9.png)
Bien:

Transporte paralelo:



![\delta u^\alpha = \int_S [\nabla \times (-\Gamma^\alpha_{\sigma\beta} u^\sigma)]^\alpha dS_\alpha](http://upload.wikimedia.org/math/2/5/d/25dfb10a9d86121ef584883e1e3469ef.png)
![\delta u^\alpha = \int_S [\epsilon_{\alpha\gamma\lambda}\nabla_\gamma (-\Gamma^\alpha_{\sigma\beta} u^\sigma)_\lambda] \epsilon_{\alpha\mu\nu} dx^\mu dx^\nu](http://upload.wikimedia.org/math/f/3/0/f3065f5a6bee0eb81aa28bfc2a4df071.png)
![\delta u^\alpha = \int_S [\epsilon_{\alpha\gamma\lambda} \epsilon_{\alpha\mu\nu} \nabla_\gamma (-\Gamma^\alpha_{\sigma\beta} u^\sigma)_\lambda] dx^\mu dx^\nu](http://upload.wikimedia.org/math/3/9/4/39443425c4d5748bf3535c889df0d263.png)
![\delta u^\alpha = \int_S (\delta^\gamma_\mu \delta^\lambda_\nu -\delta^\lambda_\nu \delta^\gamma_\mu) [\nabla_\gamma (-\Gamma^\alpha_{\sigma\beta} u^\sigma)_\lambda] dx^\mu dx^\nu](http://upload.wikimedia.org/math/7/9/d/79dfbffab819fa678a9c63a171562e46.png)
![\delta u^\alpha = \int_S [\nabla_\mu (-\Gamma^\alpha_{\sigma\beta} u^\sigma)_\nu - \nabla_\nu (-\Gamma^\alpha_{\sigma\beta} u^\sigma)_\mu] dx^\mu dx^\nu](http://upload.wikimedia.org/math/f/f/7/ff753d118a0585a18b7ece25ff6df092.png)
![\delta u^\alpha = \int_S [\partial_\mu (-\Gamma^\nu_{\sigma\beta} u^\sigma) - \partial_\nu (-\Gamma^\mu_{\sigma\beta} u^\sigma)] dx^\mu dx^\nu](http://upload.wikimedia.org/math/6/b/6/6b6b9d959d33f04461047f64b2cde6db.png)
Regla del producto de Leibniz:
![\delta u^\alpha = \int_S [-u^\sigma \partial_\mu \Gamma^\nu_{\sigma\beta} - \Gamma^\nu_{\sigma\beta} \partial_\mu u^\sigma + u^\sigma \partial_\nu \Gamma^\mu_{\sigma\beta} + \Gamma^\mu_{\sigma\beta} \partial_\nu u^\sigma] dx^\mu dx^\nu](http://upload.wikimedia.org/math/a/1/7/a1724679b72c57c01938dd3304ee36d2.png)

![\delta u^\alpha = \int_S [-u^\sigma \partial_\mu \Gamma^\nu_{\sigma\beta} - \Gamma^\nu_{\sigma\beta} \partial_\mu u^\sigma + u^\sigma \partial_\nu \Gamma^\mu_{\sigma\beta} + \Gamma^\mu_{\sigma\beta} \partial_\nu u^\sigma] dx^\mu dx^\nu](http://upload.wikimedia.org/math/a/1/7/a1724679b72c57c01938dd3304ee36d2.png)

El significado físico del tensor de Ricci
Según la teoría de la gravitación universal, una masa esférica de gas reduce su volumen (como consecuencia de la atracción recíproca de sus moléculas) con una aceleración equivalente a
:

En la ilustración se reproducen los efectos del tensor de Ricci (concretamente su componente R00 sobre un volumen tridimensional esférico: conforme aumenta el tiempo, dicho volumen se reduce. Él autor de la imagen se ha permitido la siguiente licencia: Aunque los ejes de coordenadas representan dos dimensiones espaciales y una temporal, el volumen de la esfera está definido por tres dimensiones espaciales.
Es evidente, que dicha ecuación no es compatible con la relatividad especial, por las razones reseñadas anteriormente: 1) El parámetro ρ, que mide la densidad de masa, ha de ser sustituido por el tensor de energía-tensión
, que permanece invariable ante las transformaciones de Lorentz y tiene en cuenta los efectos gravitatorios de la energía y la presión, y no sólo los de la masa. 2) Por otro lado, según la teoría de la Relatividad General, los efectos gravitatorios no son causados por ningún tipo de “fuerza misteriosa” sino por la curvatura del espacio-tiempo.
En este sentido, en un espacio-tiempo curvo, la aceleración del volumen viene cuantificada por un objeto geométrico específico, el tensor de Ricci
, que puede definirse como la aceleración respecto a
del hipervolumen
, normal al vector unitario
. De este modo, el componente R00 expresa la aceleración temporal del volumen tridimensional:

Los tensores de energía-momentum y de Ricci permitían expresar de manera tensorial la fórmula de Poisson, y de ahí que originalmente Einstein propusiera las siguientes ecuaciones de universo:
